高三数学（理工类）模拟检测试题

2002．6

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题　共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1．已知集合，P中至多有一个偶数，则这样的集合P共有

A．2个　　　 B．4个　　　 C．5个　　　D．6个

2．用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内至少有一条直线与m

A．平行　　　 B．相交　　　C．垂直　 　　D．异面

3．直线被圆（θ∈R）所截的弦长为

A．　　　　 B．2　　　C．　　　 D．1

4．与正弦曲线y=sinx关于直线对称的曲线是

A．y=sinx　　　 B．y=cosx　　　 C．y=-sinx　　　D．y=-cosx

5．如图，在正三棱台中，，D在边BC上，且，则异面直线所成角的余弦值为

A．　　　　 B．　　　 C．　　  D．

6．在1，2，3，4，5，6这六个数的排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有

A．360种　　　B．120种　　  C．40种　　　D．20种

7．在等差数列中，是数列的前n项和，已知（m≠n），则

A．0　　　　B．　　  C．　　  D．-m-n

8．在△ABC中，AB=3，内切动圆切AB于D，且AD=2DB，则顶点C的轨迹是

A．双曲线　　　 B．双曲线的一部分

C．抛物线　　　 D．抛物线的一部分

9．某工厂产值第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年平均增长率为x，则

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

10．圆锥的轴截面顶角为，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是

A．24π　　 B．8π　　  C．　　　 D．

11．下列命题

①若z∈C，则。

②若函数y=f(x+1)的图像过点（1，1），则y=f(x)的图像必过点（0，1）。

③函数y=cos(arcctgx)为奇函数。

④二项式（n∈N），对任意n∈N展开式中没有常数项。

其中正确的命题是

A．①③　　B．①④　　C．②③　　D．③④

12．如图，某班共48个座位，位于坐标平面的格点上（坐标为整数的点）。班级同学每周串一次座，每次都右串一列，前串一行，其中最前一行串到最后一行，最左列串到最左列。若甲同学第一周的位置是（5，2），则第9周他的位置是（　　）

A．（5，2）　　 B．（5，3）　　C．（5，4）　　D．（1，5）

第II卷（非选择题　共90分）

注意事项：

第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题中。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．已知，则的值是_____________。

14．点P在抛物线上，P到抛物线顶点的距离与到准线的距离相等，则点P的坐标是_____________。

15．是关于x的方程（0<a<1）的解，则，1，a这三个数的大小关系是_____________。

16．一个球与正四面体的六条棱都相切，则正四面体的体积与球的体积之比是_____________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

设z=1+cos2α+isinα，。

求cos(α-β)cos(α+β)

18．（本小题满分12分）

在长方体中，，BE⊥AC交AD于E。

（I）求证：；

（II）求二面角的正切值。

19．（本小题满分12分）

已知数列满足，（n∈N，r≠0，1）

（I）求的值；

（II）猜想的通项公式并加以证明；

（III）是数列的前n项和，若，求r的值。

20．（本小题满分12分）

如图，已知A、B是两个定点，且AB=2，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线a垂直于直线AB，且B点到直线a的距离是3。

（1）试确定点P到点B的距离与点P到直线a的距离之比；

（2）若PA-PB=1，求。

21．（本小题满分12分）

如图，一科学考察船从港口O出发，沿东偏北α角的射线OZ的方向航行，其中tgα=3。在距离港口O为（a是正常数）海里东偏北β角的A处有一个供给科考船物资的小岛（）。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船。该船沿BA方向不变全速追赶科考船，并在C处相遇。经测算当两船运行的航线与海岸线OB围城的△OBC面积S最小时，补给最适宜。

（I）求S关于m的函数关系式S(m)；

（II）当m为何值时，补给最适宜。

22．（本小题满分14分）

已知二次函数（a、b、c∈R），满足f(-1)=0，对于任意实数x都有f(x)-x≥0，并且当θ∈[0，2π）时，都有。

（1）求f(1)；

（2）证明：b>0、c>0；

（3）如果函数g(x)=f(x)-kx在[0，2]上有反函数，求k的取值范围。

参考答案：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

DCADB  DABCB　AC

二、填空题：本大题共四小题，每小题四分，共16分。

13．；

14．；

15．；

16．

三、解答题：本大题共六小题，共74分。

17．（本小题满分12分）

解：∵z=1+cos2α+isinα

=2cosα(cosα+isinα)　　　　 2分

∵，

∴

∴argz=α　　　　　 4分

∴

∴2β=2π-α　　 6分

　　  8分

　　　　 10分

∵

∴

∴当即时，

取得最大值0。　　 12分

18．（本小题满分12分）

（I）证明：∵，AC是在平面AC上的射影，

，

∴由三垂线定理知。　　 3分

连接，则，

同理由三垂线定理知

∵，

∴　　6分

（II）解：设的交点为O，则。

连接OE，则由三垂线定理知，

∴∠AOE为二面角的平面角。　 9分

设，则，BC=2a。

∵△ABE∽△ABC，

∴，

∴。

在Rt△AOE中，　　　　12分

19．（本小题满分12分）

解：（I）当n=2时，　　 1分

当n=3时，　　　　 2分

当n=4时，　　 3分

（II）猜想　 4分

下面用数学归纳法证明

①当n=1，2时，显然成立。

②假设当n=k时，猜想成立，

即　　　 5分

则当n=k+1时，

∴当n=k+1时，猜想也成立。

由①②知对一切自然数n，都成立。　　7分

（注：若用其它方法证明正确可参考给分。）

（III）

　　  9分

∵

∴且r∈（-1，0）∪（0，1）　 11分

整理，得

解得或r=2

∵

∴。　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20．（本小题满分12分）

解：∵l垂直平分MB， ∴PM=PB　　　1分

∴PA+PB=AP+PM=AM=4>AB=2　　 2分

∴P点轨迹为以A、B为焦点，且焦距为2，长轴长为4的椭圆，　　4分

其方程为

其中a=2，，c=1　　　　　　　　　　　　　　 6分

∴它的右准线为与直线a重合

∴点P到点B的距离与P到直线a的距离之比为　　8分

（2）∵PA-PB=1，PA+PB=4

∴，。　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

在△PAB中，　　10分

∴　　　　　　　　　　 11分

∴　　　 12分

21．（本小题满分12分）

解：（I）∵tgα=3，∴直线OZ的方程为y=3x　　2分

设点A的坐标为（），

则，

。　　　　　　　  4分

∴A（3a，2a）又B（m，0）

故直线AB的方程为　　　　6分

由

解得

∴

即　　　 8分

（II）

　　　　　　　　　　　 10分

当且仅当，即等号成立，

故当m为海里时，补给最适宜。　　　　　　　　 　　　 12分

22．（本小题满分14分）

解：（1）∵对任意的x，都有f(x)≥x，∴f(1)≥1。　　1分

又∵f(1)≤1

∴f(1)=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  4分

（2）∵

∴

∴2(a+c)=1

∴　　　　　　　　　　　 6分

∴，

∴

∵f(x)-x≥0 恒成立，

即 恒成立。　　　　 7分

∴

∴

∴　　　　　　　　　　 9分

（3）∵　∴

∴　　　　　　　　 10分

∵ 在[0，2]上有反函数，

∴g(x)在[0，2]上是单调的。　　　　　 12分

∴

即2k-1≤0或2k-1≥2

∴　　　　　　　　  14分