宜州市高中高三月考数学试卷

　　（120分钟　150分）

　　参考公式：

　　三角函数的和差化积公式

　　，

　　，

　　，

　　，

　　正棱台、圆台的侧面积公式

　　

　　其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长

　　台体的体积公式

　　

　　其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高

　　

　　第I卷　（选择题　共60分）

　　

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　　1．设全集I=R，A={-1}，，则以下的是（　 ）

　　A．　　  B．　　 C．A∪B=φ　　D．

　　2．设等比数列的前n项和为，若，则此数列的公比q为（　　）

　　A．2　　 B．4　　　C．3　　 D．5

　　3．正方体中，E为的中点，过点E作一条直线与和AB都相交，这样的直线（　　）

　　A．不存在　　　 B．仅有一条　　 　C．有两条　　　　D．有三条

　　4．已知，则它们的图象经过平移，可使（　　）

　　A．重合

　　B．重合，但不能与重合

　　C．重合，但不能与重合

　　D．重合，但不能与重合

　　5．方程所对应的曲线图形是（　　）

　　

　　6．设A、B两点的坐标分别为（-1，0），（1，0）。条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程（y≠0）的解，则甲是乙的（　　）

　　A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

　　C．充要条件　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

　　7．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案是（　　）

　　A．16种　　　 B．18种　　　 C．37种　　  D．48种

　　8．若函数y=f(x)存在反函数，则方程的解的个数是（　　）

　　A．0或2　　　　 B．0或1或2　　　　C．1或2　　　 D．2

　　9．圆A：，点B（c，0），其中c>a>0，M是圆A上的动点，MB的中垂线交MA所在的直线于P，则点P的轨迹（　　）

　　A．椭圆　　　　 B．双曲线　　　　C．抛物线　　　 D．直线

　　10．若，sinθ=a（），则等于（　　）

　　A．　　　　B．　　　 C．　　　 D．

　　

　　11．如图，一个无盖的长方体容器，AB=2，BC=3，现将容器盛满水，然后固定，将容器倾斜，让水流出，当容器中的水是原来的时，平面与水平面所成的角为，同样可固定，也将容器倾斜，让水流出，当容器中的水是原来的时，平面与水平面所成的角为，则（　　）

　　A．　　　 B．　　  C．　　　 D． 不能确定

　　12．抛物线的顶点在椭圆上，这样的抛物线有且只有二条，则m的取值范围是（　　）

　　A．（0，1）　　　 B．（-∞，1）　　　 C．（1，+∞）　　 D．（-∞，+∞）

　　

　　

　　第II卷　（非选择题　 共90分）

　　二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

　　13．若a>b>0，且，则m的取值范围是____________。

　　14．把直线绕点（1，1）顺时针旋转，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是____________。

　　15．某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成本500万元与年广告费成本200万元两部分。若利润的p%为国税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按p%征国税，其他不纳税，已知该企业去年共纳税120万元，则税率p%为____________。

　　16．如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形。那么可能成为这个四面体的第四个面的是____________（填上你认为的序号）。

　　

　　三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

　　17．（本小题满分12分）

　　已知复数。

　　（1）求的辐角主值；

　　（2）若△ABC的三内角A、B、C均不大于，且，，试判断三角形ABC的形状。

　　

　　

　　

　　

　　18．（本小题满分12分）

　　如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA=90°，，，若二面角为30°。

　　（1）证明；

　　（2）求与平面所成角的正切值；

　　（3）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求P到平面的距离。

　　

　　

　　

　　

　　

　　19．（本小题满分12分）

　　已知函数定义在区间[0，1]上，且，f(0)=f(1)。

　　（1）求a的值；

　　（2）证明：。

　　

　　

　　

　　

　　20．（本小题满分12分）

　　水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题，全国9100万亩的25度以上的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%，2000年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%。

　　（1）试问从2000年起，到哪一年西部地区基本解决退耕还林问题？

　　（2）为支持退耕还林工程，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问：到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？

　　（精确到亿元，参考数据：，，）

　　

　　

　　

　　

　　21．（本小题满分12分）

　　已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称，设直线l过点A，斜率为k。

　　（1）求双曲线S的方程；

　　（2）当0≤k<1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B坐标。

　　

　　

　　

　　

　　22．（本小题满分14分）

　　已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)且。

　　（1）当n∈N时，求f(n)的表达式；

　　（2）设，n∈N，求证：；

　　（3）设，n∈N，，求。

　　

　　

　　

　　

　　

　　参考答案：

　　1．D　2．C　3．B　4．A　5．D　6．B　7．C　8．B　9．B　10．B　11．A　12．A

　　提示：

　　3．由E与所确定的平面与由E与AB所确定的平面有且只有一条过E的公共直线，该线与AB和都相交。

　　5．可用排除法：当x=0时，y=-1，排除A，B；当y=0时，x=1，排除C。

　　6．数形结合：（-1，0），（1，0）是椭圆两端点，以AB为直径作圆，由图可知∠AC′B=90°，而∠ACB>90°，故选B。

　　

　　9．PM=PD而PA=PM+AM或PA=PM-AM，得PA-PM-AM，∴PA-PB=2a，∴P点的轨迹是双曲线。

　　10．，

　　

　　11．固定时，倒出水的体积，固定时，倒出水的体积，，，得　。

　　12．。故抛物线的顶点坐标为（sinα，）代入椭圆方程得，即，所以，因为这样的抛物线仅有两条，必须无解，得m<1，又m>0，∴0<m<1。

　　13．（-b，0）

　　14．60°

　　15．25%

　　16．①②④⑤

　　17．（1）。的辐角主值为。…………（4分）

　　（2）。

　　………………………………（8分）

　　法1：

　　得A+C=或

　　故△ABC为直角三角形。 　　　　　（12分）

　　法2：

　　∴A+C=或，舍去

　　∴ABC为直角三角形。………………………………（12分）

　　

　　18．（1）证明：∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC，又侧面⊥底面ABC，

　　∴AC⊥平面………………………………（3分）

　　（2）连结，则∠A为直线与平面所成的角，过C作CM⊥于M，连结AM，则∠CMA为二面角A--C　　　的平面角，∠CMA=30°。经计算，可得-2，CM=。AC=1，在Rt△A中，tg∠A=…………（7分）

　　（3）在正三角形中，在CM上取三分点O，使CO=2OM，则O为△的中心，过O作AC的平行线OP交AM于P，点P即为所求点，可算得………（12分）

　　19．解：（1）f（0）=c，f(1)=1+a+c

　　∴c=1+a+c，得a=-1。………………………………（4分）

　　（2）法1：，而，

　　………………………………（8分）

　　故

　　　………………………………………………（12分）

　　法2：

　　……………………………………………………………………（12分）

　　法3：

　　

　　

　　　………………………………………………（8分）

　　若，则，

　　另一方面

　　

　　相加得。……………………………………（12分）

　　20．氧气瓶中氧气的体积，

　　

　　≈17（升）………………………………（4分）

　　设返回水面过程中的每分钟需氧量为Q，则，

　　因当速度为1米/分，每分钟需要氧量0.2升，

　　所以k=0.2，故来回途中需氧量为20×0.2v+20×0.2/v。………………（8分）

　　在湖底的工作时间为[17-(4v+4/v)]/0.4，

　　∵[17-(4v+4/v)]/0.4≤22.5

　　因此，潜水员在湖底最多能工作22.5分。…………………………（12分）

　　21．解：（1）由条件知A（0，），……………………………………（2分）

　　设渐近线的方程为y=k′x，

　　，得k′=±1，

　　∴双曲线的方程为。……………………（5分）

　　（2）设l′为y=kx+m且，

　　，

　　则l′是与l平行且相距为的平行线，取l上方的一条，即，

　　这样只需考虑l′与上支有且只有一个交点，

　　∴y=kx+m代入得

　　。

　　由△=0得k=0或，

　　当k=0时得B（0，）。

　　时，得　 ……………………………………（12分）

　　22．解：（1）由已知得　……………（5分）

　　（2）由（1）知，设，

　　则

　　所以，两式相减可得

　　，

　　所以T<2，结论成立。……………………………………（10分）

　　（3），所以，

　　所以……………（14分）