西安中学高三年级四月模拟考试数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。

参考公式：

　

　

　　　

　　　  

正棱台、圆台的侧面积公式

；其中c’，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长。

台体的体积公式

，其中S’，S分别表示上、下底面面积，h表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．线段AB的长为6cm，点P在BA的延长线上，PB=9cm，那么，P分线段AB所成的比等于（　 ）

A．1/3　 　　B．3　　　　C．-1/3　　　　 D．3

2．（理）已知f (cosx)=sin2x，则（　）

A．-1/2　　　 B．1/2　　　　C．　　　　D．

（文）已知，则f（2）=（ ）

A．0　　 B．3　　　 C．0或3　　 D．2

3．复数z在复平面上对应的点为M，则复数1/z在复平面上对应的点只可能为（）

A．E　 B．F　　C．M　 D．N

4．记P=1，O=sin1，R=gh1，则它们的大小关系为（　 ）

A．P<Q<R　　　B．R<P<Q　　　C．Q<P<R　　　 D．Q<R<P

5．设P，Q是两个集合，定义：若P{4，5，6，7}，Q={3，4，5}，则P×Q的元素个数是（　 ）

A．3　　　　　 B．4　　　　C．7　　　　 D．12

6．圆锥的侧面展开图是一个半径为12的半圆，这个圆锥的内切球的体积为（　 ）

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

7．若函数sinx+f（x）在区间内单调递增，则f(x)可以是（　 ）

A．1　　 B．cosx　　　C．sinx　　　 D．-cosx

8．安排甲、乙、丙三人周一至周六值班，每人值班两天，但周一不能排甲，周六必须排乙，则不同的排法种数共有（　 ）

A．18　　　　B．12　　　 C．24　　　　 D．36

9．如果x、y是实数，那么x≠y是cosx≠cosy的（　 ）

A．充分而非必要条件　　　　　　　 B．必要而非充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

10．（理）双曲线的离心率，则k的取值范围是（　 ）

A．（0，12）　　　B．（8，20）　　 C．（-12，0）　　　 D．（-20，-8）

（文）双曲线的离心率为2，则k 的取值是（　 ）

A．12　　　　 B．-12　　　　C．-8　　　　D．-20

11．已知函数是定义域为R的偶函数，且是周期为2的函数，当时，f(x)=x则f(3/2) 的值为（　 ）

A．11/2　　　　B．-11/2　　　 C．-5/2　　　　D．5/2

12．（理）方程的根为，方程的根为，则（　 ）

A．　　　 B．　　 　 C．　　 D．π

（文）下列各式中，值为1/2的是（　 ）

A．　　　　　　　　　　  B．

C．　　　　　　　　　　  D．

二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分。

13．设函数且满足的x的值为_______________。

14．二项式展开式中a的一次幂的系数为___________________。

15．在棱长为1的正方体中，对角线在六个面上的射影长度总和为_____________。

16．抛物线的顶点与焦点关于点（0，1）对称，则a=____________。

三、解答题：本大题共6小题；共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（文）（12分）设复数如果z的最大值为2，求实数k

（理）（12分）设是模为1的两个复数，，且，的虚部为的实部为。

求（1）的值：　　　 （2）的值。

18．（理）（12分）已知数列

（1）求数列的通项公式：

（2）设，，求。

（文）（12分）设数列的首项为且

（1）求数列的通项；

（2）若数列的前n项和，求n的最小值；

（3）问当n为何值时，最小值，并求这个最小值。

19．（12分）已知：四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，二面角P—CD—B为45°。

（1）求证：AF∥平面PCE：

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求点D到平面PCE的距离。

20．（12分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕涝。第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年5万元。

（1）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？

（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出。

21．（12分）已知函数，设其反函数为，对于给定的正数k，试求解关于x的不等式

22．（14分）设双曲线C的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线。（1）试求双曲线的方程：

（2）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点。试问：①当k为何值时，以AB为直径的圆经过原点；

②（理科做，文科不做）是否存在这样的实数k，使A、B两点关于直线y=ax对称（a为常数）。若存在求出k的值；若不存在，请说明理由。

西安中学高三年级四月模拟考试数学答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	B	A	C	D	B	D	A	B	CB	D	C

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．3　 14．35　 15．　 16．

三、解答题

17（文）（12分）

解：

又∵k≥0，∴当cosx= -1时，，解得k=3/2

17．（理）（12分）

解：（1）由题设

　，

（2）∵，∴，

∴，

∴

18．（理）

解（1）由得

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴

∴（或用归纳法，需证明）

（2）　∴，

∴

18．（文）

解：（1）∵　∴是等差数列。公差

∴

（2）由

得n>26，∴满足的最小值为27

（3）令得，∴当n=13时，最小，最小值。

19．（12分）

解：（1）取PC的中点为G，连结FG、EG，∵，，∴，∴四边形AFGE为平行四边形，

∴AF//EG，又∵，∴AF//平面PCE。

（2）∵PA⊥平面ABCD，AD⊥DC∴PD⊥DC

∴∠PDA为二面角P­—CD—B的平面角，∴∠PDA=45°即△PAD为等腰直角三角形

又∵F为PD的中点∴AF⊥PD……①

由DC⊥AD，DC⊥PD，得DC⊥平面PAD，而，∴AF⊥DC②

由①②得AF⊥平面PDC，而EG//AF，∴EG⊥平面PDC，又，

∴平面PCE⊥平面PDC。

（3）过点D作DH⊥PC于H，∵平面平PCE⊥平面PDC

∴DH⊥平面PEC

即DH的长为点D到平面PEC的距离。

在Rt△PAD中，PA=AD=a，

在Rt△PDC中，

即点D到平面PCE的距离为。

20．解：（1）设n年后开始盈利，盈利y元，则

令y>0解得

∴3≤n≤17

即捕捞3年后开始盈利：

（2）①平均盈利为

②,当n=10时,,

∴经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102+8=110万元

两种方案盈利额相同，但方案②时间长3年，所以方案①合算。

21．解：，x∈R，∴

所解得，∴

原不等式转化为，且k>0，-1<x<1

∴　　　　解得

①当1-k<-1，即k>2时，不等式解集为{x-1<x<1}

②当-1≤1-k＜1 即0＜k≤2时，不等式解集为{x-k<x<1}。

22．（14分）

解：（1）抛物线方程为，∴抛物线顶点为

准线方程为，依题意，在双曲C中有

解之得，

∴双曲线的C方程为

（2）①由　得

由已知，△>0得

设，∵OA⊥OB，则

∵

∴即

由韦达定理知代入化简得k=±1

∴k=±1以AB为直径的圆过原点。

③若存在实数k，使A、B两点关于直线y=ax对称，则

由i，ii有

又∵代入上式化简得

2ak=6

∴ak=3与i矛盾.

故不存在实k，使A、B两点关于直线y=ax对称。