上海市南汇区2005学年度第一学期期未考试

2014-5-11 0:20:40 下载本试卷

上海市南汇区2005学年度第一学期期未考试

高三数学试卷

(满分:150分,完卷时间:120分钟)

考生注意:本试卷为文、理合卷,题首标有“文”、“理”分别是文科生、理科生做的题目,没有标记的是共同做的题目。

题号

1-12

13-16

17

18

19

20

21

22

总分

得分

一、填空题:(本题满分48分,每小题4分)

1、已知集合A=,B=,则AB=

2、若sin= -,则cos 2=

3、方程的解是

4、已知函数f(x)的图象与函数的图象关于直线y=x对称,则f(9)=__2__。

5、复数的共轭复数

6、在数列中a= -13,且3a=3a -2,则当前n项和s取最小值时n的值是__20__。

7.集合,在A中任取一元素m和在B中任取一元素 n,则所取两数m>n的概率是_0.6_。

8、在△ABC中三边之比a:b:c=2:3:,则△ABC中最大角=

9、(理)在的展开式中,的系数是的系数的等差中项,若实数,那么.

(文)设实数x,y满足条件的最大值是_1_

10、在棱长为4厘米的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,那么点B到平面B1EF的距离是厘米。

11、在R上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是  。

12、已知数列,把数列

的各项排成三角形状,如图所示.记 

表示第m行,第n列的项,则

=

二、选择题:(本题满分16分,每小题4分)

13、设a,b,c表示三条直线,表示两个平面,下列命题中不正确的是( D )

(A)   (B) 

(C)  (D) 

14、函数y=cos 2x的图象的一个对称中心是( B  )

(A )()   (B) ()  (C )(-)  (D) (0,0)

15、函数y=  ( B  )

(A)在(-,+)上单调递增。  

(B)在上是减函数,在上是增函数。

(C)在上是增函数,在上是减函数。

(D)在上是减函数,在上是增函数。

16、某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了千米,休息了一段时间,又沿原路返回千米(,再前进千米,则此人离起点的距离与时间的关系示意图是( C  )


  (A)      (B)      (C)      (D)

三、解答题:

17、(12分)设为虚数,且满足2,求

解:设,     ______2分

    _________6分

由已知得,∴=0    ________8分

   ________10分

=1       _______12分

18、(13分)已知向量

定义函数f(x)=。(1)求函数f(x)的最小正周期。

(2)xR时求函数f(x)的最大值及此时的x值。

解:f(x)=-1=2sinx×cosx+2cosx-1

=sin2x+cos2x=2sin(2x+)     ——7分

(1)T==    ——9分

(2)f(x)=2sin(2x+)

∴当2x+=+2k (kZ)

即x=+k (kZ)时,f(x)取最大值为2

∴当x=+k (kZ)时f(x)=2   ——12分

19、(本题满分13分)(文)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,BAC=900,AB=AC=2,AA=2,E, F分别是BC、AA1的中点。求(1)异面直线EF和A1B所成的角。(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积。

解:(1)方法一:(略解)取AB的中点D,连DE、DF,

    则

∴∠DFE即为所求。——2分

由题意易知,

由DE⊥AB、DE⊥A A1得DE⊥平面ABB1A1

∴△DEF为直角三角形,∠EDA=900

∴tan∠DFE= ——9分

,即异面直线EF和A1B所成的角为。——10分

方法二:

以A为坐标原点以AB、AC、

AA1所在直线分别x轴、y轴、

Z轴建立如图所示的直角坐标系,

则A (o,o,2) B (2,0,0)

E、F分别是BC、AA1中点

∴E(1,1,0) F(0,0,)  ——5分

  

的夹角为∴cos=

 ∴    ——9分

∴异面直线EF和AB所成的角为   ——10分

(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积 ——13分

(理)如图,直四棱柱中,底面是直角梯形,,异面直线互相垂直。(1)求直棱柱棱的长;(2)若点在线段上,,求直线与平面所成的角的大小。

解:(1)方法1:

以A为坐标原点以AB、AD、

AA1所在直线分别x轴、y轴、

Z轴建立直角坐标系,

设棱的长为

则A (0,0,0),B (5,0,0),

C(5,2,0),D(0,8,0),

A1(0,0,a), B1(5,0,a), C1(5,2,a),D1(0,8,a).

,——3分

, ——6分

,∴棱的长为4。——8分

方法2 、设棱的长为在A1D1 上取点E1,使A1E1=2,则点E1即为点C1在平面AA1D1D上的射影,AE1⊥A1D。连C1E、AE1,易知A1D⊥平面AC1E1

在平面AA1D1D中,由Rt△AA1D~Rt△AA1E

,即。∴∴棱的长为4。——8分

(2)由(1)知,M点即为AE1与A1D的交点,由题意显然∠MAD即为所求。——10分

又∠MAD=∠AE1A1

 ——12分

∴直线与平面所成的角的大小是。——13分

20、(本题满分14分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,小时内供水总量为吨,(

(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?   

(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象。

解:(1)设小时后蓄水池中的水量为吨,

; ——3分

;则,即;——5分

∴当,即时,

即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨。—8分

(2)依题意,得 ——11分

解得,,即

即由,所以每天约有8小时供水紧张。——14分

21、(本题满分16分)已知数列的前n项和S=50n-n(n)

(1)求证是等差数列。

(2)设b=,求数列的前n项和Tn

(3)求()的值

解:(1) ,因此,当时有

 

所以  ………………3分

     ∴

是首项为49,公差为的等差数列…………6分

(2)若,则 ……………7分

,当时,则

此时,;  ……………………9分

时,

所以   

   综合所得  ………14分

   (3)lim()=()= -1 …………16分

22、(本题满18分)

设函数f(x)=ax+bx+1(a,b为实数),F(x)=

(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立,求F(x)表达式。(2)在(1)的条件下,当x时,g(x)=f(x) -kx是单调函数,

求实数k的取值范围。

(理)(3)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

解:(1)f(-1)=0

    ∴由f(x)0恒成立 知

△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0 ——(理)2分----(文)3分

∴a=1从而f(x)=x+2x+1   ——(理)4分----(文)6分

∴F(x)= —(理)6分-----(文)9分

(2)由(1)可知f(x)=x+2x+1

 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1—(理)8分-----(文)12分

由于g(x)在上是单调函数,知

-或- ——(理)10分---(文)16分

得k-2或k6 ——(理)12分-----(文)18分

(3)f(x)是偶函数

∴f(x)=f(x)而a>0∴上为增函数

对于F(x)

当x>0时-x<0

F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)  ——(理)14分

当x<0时-x>0

     F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)

∴F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数—(理)16分

m>0,n<0由m>-n>0知F(m)>F(-n)

∴F(m)>-F(n)

∴F(m)+F(n)>0     ——(理)18分