上海市南汇区2005学年度第一学期期未考试
高三数学试卷
(满分:150分,完卷时间:120分钟)
考生注意:本试卷为文、理合卷,题首标有“文”、“理”分别是文科生、理科生做的题目,没有标记的是共同做的题目。
题号 | 1-12 | 13-16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 总分 |
得分 |
一、填空题:(本题满分48分,每小题4分)
1、已知集合A=,B=,则AB=。
2、若sin= -,则cos 2=。
3、方程的解是
4、已知函数f(x)的图象与函数的图象关于直线y=x对称,则f(9)=__2__。
5、复数的共轭复数=
6、在数列中a= -13,且3a=3a -2,则当前n项和s取最小值时n的值是__20__。
7.集合,在A中任取一元素m和在B中任取一元素 n,则所取两数m>n的概率是_0.6_。
8、在△ABC中三边之比a:b:c=2:3:,则△ABC中最大角=。
9、(理)在的展开式中,的系数是和的系数的等差中项,若实数,那么.
(文)设实数x,y满足条件则的最大值是_1_。
10、在棱长为4厘米的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,那么点B到平面B1EF的距离是厘米。
11、在R上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 。
12、已知数列,,把数列
的各项排成三角形状,如图所示.记
表示第m行,第n列的项,则
=
二、选择题:(本题满分16分,每小题4分)
13、设a,b,c表示三条直线,表示两个平面,下列命题中不正确的是( D )
(A) (B)
(C) (D)
14、函数y=cos 2x的图象的一个对称中心是( B )
(A )() (B) () (C )(-) (D) (0,0)
15、函数y= ( B )
(A)在(-,+)上单调递增。
(B)在上是减函数,在上是增函数。
(C)在上是增函数,在上是减函数。
(D)在上是减函数,在上是增函数。
16、某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了千米,休息了一段时间,又沿原路返回千米(,再前进千米,则此人离起点的距离与时间的关系示意图是( C )
(A) (B) (C) (D)
三、解答题:
17、(12分)设为虚数,且满足2,求。
解:设, ______2分
则 _________6分
由已知得,∴=0 ________8分
∴ ________10分
∴=1 _______12分
18、(13分)已知向量,
定义函数f(x)=。(1)求函数f(x)的最小正周期。
(2)xR时求函数f(x)的最大值及此时的x值。
解:f(x)=-1=2sinx×cosx+2cosx-1
=sin2x+cos2x=2sin(2x+) ——7分
(1)T== ——9分
(2)f(x)=2sin(2x+)
∴当2x+=+2k (kZ)
即x=+k (kZ)时,f(x)取最大值为2
∴当x=+k (kZ)时f(x)=2 ——12分
19、(本题满分13分)(文)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,BAC=900,AB=AC=2,AA=2,E, F分别是BC、AA1的中点。求(1)异面直线EF和A1B所成的角。(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积。
解:(1)方法一:(略解)取AB的中点D,连DE、DF,
则∥,
∴∠DFE即为所求。——2分
由题意易知,,,
由DE⊥AB、DE⊥A A1得DE⊥平面ABB1A1
∴△DEF为直角三角形,∠EDA=900
∴tan∠DFE= ——9分
∴,即异面直线EF和A1B所成的角为。——10分
方法二:
以A为坐标原点以AB、AC、
AA1所在直线分别x轴、y轴、
Z轴建立如图所示的直角坐标系,
则A (o,o,2) B (2,0,0)
E、F分别是BC、AA1中点
∴E(1,1,0) F(0,0,) ——5分
∴
设的夹角为∴cos=
∴ ——9分
∴异面直线EF和AB所成的角为 ——10分
(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积 ——13分
(理)如图,直四棱柱中,底面是直角梯形,,,异面直线与互相垂直。(1)求直棱柱棱的长;(2)若点在线段上,,求直线与平面所成的角的大小。
解:(1)方法1:
以A为坐标原点以AB、AD、
AA1所在直线分别x轴、y轴、
Z轴建立直角坐标系,
设棱的长为
则A (0,0,0),B (5,0,0),
C(5,2,0),D(0,8,0),
A1(0,0,a), B1(5,0,a), C1(5,2,a),D1(0,8,a).
∴,——3分
又, ——6分
得,∴棱的长为4。——8分
方法2 、设棱的长为在A1D1 上取点E1,使A1E1=2,则点E1即为点C1在平面AA1D1D上的射影,AE1⊥A1D。连C1E、AE1,易知A1D⊥平面AC1E1,
在平面AA1D1D中,由Rt△AA1D~Rt△AA1E
∴,即。∴∴棱的长为4。——8分
(2)由(1)知,M点即为AE1与A1D的交点,由题意显然∠MAD即为所求。——10分
又∠MAD=∠AE1A1
∴ ——12分
∴直线与平面所成的角的大小是。——13分
20、(本题满分14分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,小时内供水总量为吨,()
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象。
解:(1)设小时后蓄水池中的水量为吨,
则; ——3分
令=;则,即;——5分
∴当,即时,,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨。—8分
(2)依题意,得 ——11分
解得,,即,;
即由,所以每天约有8小时供水紧张。——14分
21、(本题满分16分)已知数列的前n项和S=50n-n(n)
(1)求证是等差数列。
(2)设b=,求数列的前n项和Tn
(3)求()的值
解:(1) ,因此,当时有
所以 ………………3分
∴,
故是首项为49,公差为的等差数列…………6分
(2)若,则 ……………7分
设,当时,则,
此时,; ……………………9分
当时,,
而
所以
综合所得 ………14分
(3)lim()=()= -1 …………16分
22、(本题满18分)
设函数f(x)=ax+bx+1(a,b为实数),F(x)=
(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立,求F(x)表达式。(2)在(1)的条件下,当x时,g(x)=f(x) -kx是单调函数,
求实数k的取值范围。
(理)(3)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。
解:(1)f(-1)=0
∴由f(x)0恒成立 知
△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0 ——(理)2分----(文)3分
∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ——(理)4分----(文)6分
∴F(x)= —(理)6分-----(文)9分
(2)由(1)可知f(x)=x+2x+1
∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1—(理)8分-----(文)12分
由于g(x)在上是单调函数,知
-或- ——(理)10分---(文)16分
得k-2或k6 ——(理)12分-----(文)18分
(3)f(x)是偶函数
∴f(x)=f(x)而a>0∴在上为增函数
对于F(x)
当x>0时-x<0
F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) ——(理)14分
当x<0时-x>0
F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)
∴F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数—(理)16分
m>0,n<0由m>-n>0知F(m)>F(-n)
∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 ——(理)18分