金山区2005学年度第一学期高三数学期末考试试题
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
| 题号 | 1～12 | 13~16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 总分 |
| 得分 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 签名 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
一、填空题(本大题共有12题，每题4分，满分48分)
1、已知集合A={xy=lg(x–3)}，B={xy=
}，则A∩B= 。
2、定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)的值为 。
3、设函数f(x)=lgx，则它的反函数f –1(x)= 。
4、函数y=sinxcosx的最小正周期T= 。
5、若复数z1＝3–i，z2＝7+2i，(i为虚数单位)，则z2–z1＝ 。
6、ΔABC中，若∠B=30o，AB=2
，AC=，则BC=
。
7、无穷等比数列{an}满足：a1=2，并且
(a1+a2+…+an)=
，则公比q=
。
8、关于x的方程2x=
只有正实数的解，则a的取值范围是
。
9、如果直线y = x+a与圆x2+y2=1有公共点，则实数
的取值范围是 。
10、袋中有相同的小球15只，其中9只涂白色，其余6个涂红色，从袋内任取2只球，
则取出的2球恰好是一白一红的概率是 。
11、F1、F2是双曲线
的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于 。
12、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= 。(不必给出证明)
二． 选择题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13．已知数列{an}的通项公式是an=2n–49 (nÎN)，那么数列{an}的前n项和Sn 达到最小值时的n的值是 ( )
(A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26
14．在直角坐标平面中，若F1、F2为定点，P为动点，a>0为常数，则“PF1+PF2=2a”是“点P的轨迹是以F1、F2为焦点，以2a为长轴的椭圆”的 ( )
(A)充要条件 (B)仅必要条件 (C)仅充分条件 (D)非充分且非必要条件
15．设x=sina，且aÎ
，则arccosx的取值范围是
( )
(A) [0, p] (B)
[
,
] (C) [0,]
(D) [,p]
16．设非零实常数a、b、c满足a、b同号，b、c异号，则关于x的方程a .4x+b.2x+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根
三、解答题(本大题共6题，共86分，解答下列各题必须写出必要步骤)
17．(本题满分12分)
过定点A(–1,1)是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交所得的线段的中点,若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
18．(本题满分12分)
在复数范围内解方程
(i为虚数单位)
19．(本题满分14分)
已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x1<x<m, mÎR}
(1)求t, m的值；
(2)若f(x)= –x2+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式log a (–mx2+3x+2–t)<0的解集。
20．(本题满分14分)
某企业准备在2006年对员工增加奖金200元，其中有120元是基本奖金。预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%。另外，每年新增加的奖金中，基本奖金均比上一年增加30元。那么，到哪一年底，
(1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以2006年为累计的第一年)将首次不少于750元?
(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%?
21．(本题满分16分)
已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、……、Sn2 ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。(1)求an、bn；(2)从数列{
}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于
。若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。
22．(本题满分18分)
函数f(x)=
(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离AP的最小值。
金山区2005学年度第一学期高三数学期末考试试题
评分标准
一、填空题
1、{x3<x≤5} 2、0 3、y=10x, xÎR 4、p 5、5 6、3 7、
8、
<a<2
9、–
≤a≤ 10、
11、17 12、n .2n–1
二、选择题
13、B 14、B 15、C 16、D
17、设过A点的直线交椭圆于B、C两点，B(x1, y1)、C(x2, y2)
则有x12+3y12=9，x22+3y22=9， …………………………………………………………3分
两式相减得：(x1+x2)( x1–x2)+3(y1+y2)( y1–y2)=0…………………………………………6分
因为A点是线段BC的中点，所以x1+x2= –2，y1+y2=2 ………………………………8分
代入得：kBC =
= 
……………………………………………………………10分
所以l的方程为y=(x+1)+1……………………………………………………………11分
检验知：x–3 y+4=0为所求的方程。……………………………………………………12分
18、原方程化简为
,………………………………………………3分
(只要写出右边1–i就得3分)
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1–i, ………………………………5分
(只要写出左边就得2分)
所以x2+y2=1且2x = –1， ……………………………………………………………8分
(写对一个得2分)
解得x= – …………………………………………………………………………9分
y= ±
, …………………………………………………………………………11分
所以原方程的解是z= –±i。…………………………………………………12分
19、(1) 由条件得：
，………………………………………………………3分
所以
………………………………………………………………………………6分
(2)因为f(x)=
–(x–
)2+4+
在(–∞,1)上递增，
所以≥1，a≥2 ………………………………………………………………………8分
log a (–mx2+3x+2–t)= log a (–2x2+3x)<0=log a 1
所以
，………………………………………………………………10分
所以
……………………………………………………………………12分
所以0<x<或1<x<
…………………………………………………………………14分
20、(1)设基本奖金形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，(或a1=120,，d=30，或an =120+30 (n–1))…………………………………………………………………………1分
Sn=a1n+n(n–1)d……………………………………………………………………2分
则Sn=120n+15n(n–1) =15n2+105n=15(n2+7n)……………………………………………4分
注意：若直接写出Sn的整理式子(上面三个之一)4分全给
令15n2+105n≥750，即n2+7n–50≥0，而n是正整数, ∴n≥5。…………………5分
(不区分≥、>、=，这一结果只影响最终结果)
到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于750元。6分
(2)设新增加的奖金形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，(或b1=200，q=1.08，或bn=bn–1q) ………………………………………………………………………………7分
则bn=200· (1.08)n–1……………………………………………………………………9分
(在第2小题任意处出现上式，均给3分，即使b1=200，q=1.08，和bn=bn–1q同时出现，而没有代入，也给3分)
由题意可知an>0.85 bn，有120+30 (n–1)>200· (1.08)n–1·0.85。 …………………11分
(不区分≥、>、=，这一结果只影响最终结果)
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=5，………………………………13分
到2010年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85% ……14分
注意：如果直接列表计算也可，但表格必须完整，不能用……代替，否则第1小题只给2分，第2小题只给3分，对于表格中的数据，只要完整，不去验证具体数据。
21、(1){Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2
因为an>0，所以Sn=
(nÎN)………………………………………………………2分
当n≥2时，an=Sn–Sn–1=–
又a1=S1=，所以an=
(nÎN) ……………………………4分
设{bn}的首项为b1，公比为q，则有
………………………………6分
所以
，所以bn=3n(nÎN)…………………………………………………………8分
(2)=()n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=()p，公比为()k，(p、kÎN)， 它的各项和等于=
，……………………………………………………10分
则有
，所以()p=[1–()k]，…………………………………………12分
当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8， 因为p、kÎN，所以只有p–k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{cn}的各项和为。 ……………………………………………14分
当p<k时，3k–1=8.3k–p，因为k>p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、kÎN，
所以唯一存在等比数列{cn}，首项为
，公比为，使它的各项和等于。……16分
22、(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，
所以
=1无解或有解为0，………………………………………………………3分
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
若有解为0，则b=1，所以a=。 ……………………………………………………6分
(2)f(x)=
，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即
=4，m= –4(必要性)……………………………8分
又m= –4时，f(x)+f(–4–x)=
=……=4成立(充分性) ……………10分
所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，…………11分
(3)AP2=(x+3)2+(
)2，设x+2=t，t≠0，…………………………………………13分
则AP2=(t+1)2+(
)2=t2+2t+2–
+
=(t2+)+2(t–
)+2=(t–)2+2(t–)+10
=( t–+1)2+9，
…………………………………………………………………16分
所以当t–+1=0时即t=
，也就是x=
时，
AP min = 3 ………………………………………………………………………18分