二、二项式定理
（一）选择题
一、【高考真题】
1（04年全国1卷5）
的展开式中常数项是（ A ）
A．14 B．－14 C．42 D．－42
2（04年浙江7）
若
展开式中存在常数项,则n的值可以是（ C ）
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12
3（04年福建9）已知
展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（C ）
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
4（05年江苏9）设
的展开式中
的系数不可能是（ C ）
A．10 B．40 C．50 D．80
5（05年山东5）如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是（ C ）
A．7 B．－7 C．21 D．－21
6（05年江西4）
的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ B ）
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
二、【模拟试题】
6． (1－x+x2)(1+x)6展开式中，x3项的系数是 （ D ）
A．15 B．14 C．12 D．11
6．在（4x
-2x-5）(1+
)
的展开式中，常数项为( C )
A．20 B.-20 C.15 D.-15
7．设
则
（ A）
A．127 B．128 C．0 D．－127
4．
的展开式中是有理数的项共有 （
B ）
A．2项 B．3项 C．4项 D．5项
8．对于二项式
，有四个判断：1存在
，展开式中有常数项；
②对任意，展开式中没有常数项；③对任意，展开式中没有x的一次项；
④存在，展开式中有x的一次项. 上述判断中正确的是 （ D ）
A．①与③ B．②与③ C．②与④ D．①与④
8．
展开式的常数项是（ D ）
A．252 B．－210 C．210 D．－252
9．设
，则
＝（ D ）
A．256 B．96 C．128 D．112
（二）填空题
一、【高考真题】
1（05年湖北文14）
的展开式中整理后的常数项等于 38
2（05年湖北14）
的展开式中整理后的常数项为
.
3（02年全国15）
的展开式中x3项的系数是 1008
.
3（04年湖北文14）已知
的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是 35 .（以数字作答）
4（04年全国2卷文13）已知a为实数，
展开式中
的系数是－15，则
5（05年广东13）已知
的展开式中
的系数与
的展开式中x3的系数相等，则
= 
.
6（04年天津15）若
，则
2004 .（用数字作答）
7（05年天津11）设
,则
二、【模拟试题】
12．已知
，若
且
，那么
的展开式中含
的项的系数是 15
12．已知函数
，则
= 0 .
14．设
是
的展开式中x的一次项的系数，则
，
的值是 答案： 
；18
7、从装有
个球（其中
个白球，1个黑球）的口袋中取出
个球
,共有
种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有
，即有等式：
成立。试根据上述思想化简下列式子：
。
。
答案：
根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从
个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等
类，故有种取法。
8．二项式定理
的两边求导后，再取
，得恒等式
．
（三）解答题
一、【高考真题】
1（01年全国理20）（12分）已知
是正整数，且
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）证明
（Ⅰ）证明：对于
，有
同理 
，…4分 由于m<n,对整数k=1,2,…,i-1,有
所以
，即
（Ⅱ）证明：由二项式定理有
由（Ⅰ）知
（
），而
因此，
，又
∴
，即
2（ 03年上海理19文22）已知数列
（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
（3）设q≠1，Sn是等比数列的前n项和，求： 
[解]（1）
（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则
（3）因为
二、【模拟试题】
19．(文)规定
=
，其中
是正整数，且
，这是组合数
（、是正整数，且
）的一种推广．
⑴求
的值；
⑵设
，当
为何值时，
取得最小值？
⑶组合数的两个性质：①
；②是否能推广到（是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
解： ⑴
⑵
当且仅当
时取等号，
当
时，
取得最小值
⑶性质①不能推广．例如当
时，
有意义，但
无意义；
性质②能推广,其推广形式是:
. 事实上,当
时,
当
时
(理)规定
其中
，为正整数，且
这是排列数
是正整数，且
的一种推广． ⑴求
的值；
⑵排列数的两个性质：①
， ②
．(其中m,n是正整数)是否都能推广到
是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
⑶确定函数
的单调区间．
解：⑴
；
⑵性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①
，
②
事实上，在①中，当
时,左边
， 右边
，等式成立；
当
时，左边
， 因此,①成立；
在②中，当时,左边
右边，等式成立；
当时，左边
右边，因此 ②成立。
⑶先求导数，得
.令
>0,解得x<
或 x>
.
因此，当
时,函数为增函数, 当
时,函数也为增函数。
令<0,解得<x<. 因此,当
时,函数为减函数.
所以，函数的增区间为
， 
函数的减区间为