数学理科 模拟试卷三
一、选择题：
1. 若α为锐角，则下列各式中可能成立的是：( )
（Ａ） sinα+cosα=
（Ｂ） sinα+cosα=
（Ｃ） sinα+cosα=
（Ｄ） sinα+cosα=
2. 把一块圆心角为α的扇形铁皮，制成圆锥形漏斗(不计接头用料和铁皮厚度)，则圆锥
轴截面的顶角为：( )
（Ａ） arcsin
（Ｂ） arcsin
（Ｃ） 2arcsin
（Ｄ） 2arcsin
3. 当θ∈ (π，
) 时，复数 z=(1+i)
(sinθ+icosθ)的辐角主值是：( )
（Ａ） 
+θ
（Ｂ） π-θ
（Ｃ） 2π-θ （Ｄ） 3π-θ
4. 椭圆 
=1 的一条准线方程为：(
)
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
5. △ABC中，sin2A＞是A＞15°的：( )
（Ａ） 充分非必要条件 （Ｂ） 必要非充分条件
（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既非充分又非必要条件
6. 已知圆锥曲线的极坐标方程为
，则其焦距等于：( )
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
7. 设首项为3，公比为2的等比数列 {a
} 的前n项和为S，首项为2、公比为3的等
比数列{a} 的前n项和为 S’，则 
的值等于：( )
（Ａ） （Ｂ） 
（Ｃ） 
（Ｄ） 2
8. 棱台上、下底面的面积分别为 S
、S
，一个平行于底面的截面把棱台的
高分成两部分，这上、下两部分比为λ，则该截面的面积为：( )
（Ａ） 
（Ｂ） 
（Ｃ） 
（Ｄ）
9. 设直线l1和l2 的方程分别为xsinα+2y=1和2x+ysinα=2，且l1到l2
的角为60°，则sinα的值是：( )
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
10. 在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折为二面角,折后A与C的距离
等于1,则二面角C—BM—A的大小等于( )
（Ａ） 30° （Ｂ） 60°
（Ｃ） 90° （Ｄ） 120°
11. 有a、b、c、d、e五列火车停在五条轨道上，如果a车不停在第一道上， e车不停在
四道上，那么不同的停车方法共有：( )
（Ａ） 72种 （Ｂ） 78种
（Ｃ） 96种 （Ｄ） 120种
12. F(x)=xf(x) (x∈R)在(-∞,0]上是减函数，且f(x)是奇函数，则对任意实数a下列不
等式成立的是：( )
（Ａ） F(
)≤F(a-a+1)
（Ｂ） F()＞F(a-a+1)
（Ｃ） F()≥F(a+a+1)
（Ｄ） F()＜F(a+a+1)
13. 若x=arcsin(cos3),
y=tg[arcctg(
)]，则x+y的值为：( )
（Ａ） -3 （Ｂ） 3
（Ｃ） π-3 （Ｄ） π+3
14. 当x∈(1,2)时，不等式 (x-1)＜log
x 恒成立，则a的取值范围是：( )
（Ａ） (0，1) （Ｂ） (1，2)
（Ｃ） (1，2] （Ｄ） (1，3)
15. 一个球的半径为R，其内接正四面体的高为h，则h:R为：( )
（Ａ） 5:4 （Ｂ） 4:3
（Ｃ） 3:2 （Ｄ） 2:1
二、填空题
16. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，那么这双曲线的渐近线方程
是：( )
（Ａ） y=±
x
（Ｂ） y=±
x
（Ｃ） y=±
x
（Ｄ） y=±
x
17. 在关于x的二项式 (1-xloga)
的展开式中，若第4项系数等于15，则a=( )
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
18. 若cos
=
，sin
，且
＜β＜＜α＜
，则cos(α-β)= ( )
（Ａ） （Ｂ） 
（Ｃ） 
（Ｄ）
19. 函数 
(0＜x≤1)的反函数是：( )
（Ａ） 
(x≤2) （Ｂ） (x≥2)
（Ｃ）
(x≥2) （Ｄ）
(x≥2)
20. 点P在抛物线 (y-1) =8x 上，P到抛物线顶点与准线的距离相等，则点P坐标是( )
（Ａ） (1, 1+2)
（Ｂ） (1, 1-2)
（Ｃ） (1, 1±2)
（Ｄ） (1, 1±3)
|
21. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC,AE⊥CD,∠D=45°，把梯 形沿AE折起，使二面角D-AE-C为45°，若这时点D在平面ABC 内的射影恰好落在点C上，则∠DAB的大小等于( )° |
三、解答题
22. 已知ω=z+i(z∈C)，且
为纯虚数，则M=｜ω+1｜+｜ω-1｜
的最大值及当M取最大值时的ω是：( ) ( )
[解析]
23. 设定义在(0，π)上的函数 
，其中a为常数且a≥1，
求出f(x)的单调区间，并证明在每一单调区间上f(x)是增函数或者是减函数。
[解析]
|
24. 如图，已知在斜三棱柱 ABC-A BC 中，AC=BC，D为 AB的中点，平面A 与AB (1) 求证：AB |
[解析]
(2) 若CC 与平面ABBA 的距离为1，
，AB=5。
则三棱锥 A-ACD 的体积是:( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
[解析]
25. 已知以C(2，0)为圆心的⊙C和两条射线y=±x(x≥0)都相切，设动直线l与⊙C相切，
并交两条射线于点A、B，求线段AB中点M的轨迹。
[解析]
26. 已知数列 {a} 满足条件 (n-1)an+1=(n+1)(a-1),a2=6，
令 b=a+n (n∈N),
(1) 写出数列 {b} 的前4项是：( ) ( ) ( ) ( )
[解析]
(2) 求数列 {b} 的通项公式(写出推证过程)；
[解析]
(3) 是否存在非零常数p、q，使得数列 
成等差数列?
若存在p，q应满足的关系式；若不存在，说明理由。
[解析]
参 考 答 案
一、
1. B 2. D 3. D 4. B 5. A
6. D 7. C 8. C 9. A 10. C
11. B 12. A 13. A 14. C 15. B
二、
16. C 17. B 18. A 19. B 20. C 21. 60°
三、
22. ( 20 ) ( 3i )
[解析] 解法一：设z=a+bi(a,b∈R),
∵是纯虚数， ∴ a+b=4(b≠0). ∴M=12+4b.
∵ a+b=4(b≠0)， ∴ a=4-b≥0(b≠0)
∴ -2≤b＜0或0＜b≤2。∴ 当b=2时，M取最大值20. 这时，a=0,ω=-3i.
解法二：∵为纯虚数，
∴ 
(z≠±2)
∴ (z-2)(
+2)+(z+2)( -2)=0，∴z =4，即｜z｜=2(z≠±2).
设 z=2(Cosθ+iSinθ), 0＜θ＜π 或 π＜θ＜2π ,......
∴ w=2Cosθ+(2Sinθ+1)i。
∴ M=12+8sinθ. ∴当sinθ=1时，即
时，M取最大值20. 这时，ω=3i.
23. [解析] (1)当x∈(0，时，
∵cosx为减函数，
a≥1,cosx＞0,∴ 
为增函数，∴+1为增函数，且 +1＞0.
∴ f(x)在(0，)是减函数。又 f(x)＞0=f(). ∴ f(x)在 (0，]上为减函数。
(2)
当x∈(，π)时，cosx为减函数，a≥1.∴a+cosx＞0.
∴f(x)在(，π)是增函数
又 f(x)＞0=f(, ∴ f(x)在 [，π) 上为增函数。
24. (1)[解析] 取AB中点D，连结BD、CD，
∵AC=BC,∴AC=BC ∴CD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面ABBA.
∴CD⊥平面ABBA ∴ CD⊥AB 且BD是BC在平面ABBA上的射影，
又∵AB⊥BC，∴AB⊥BD 又∵AD∥BD，∴AB⊥AD. ∵ CD∥CD,
∴AB⊥CD. ∴ AB⊥平面ACD.
(2) B
[解析]
∴ S△A1AD=A1D·AE=·6·
∴ V
25.
[解析]
∴点M的轨迹方程为：
∵点M在∠AOB的内部，
∴所求轨迹是以点(2，0)为中心，以(0，0)、(4，0)为焦点，实轴长为
的双曲线的两支在∠AOB内的部分。
26.
(1) ( 2 ) ( 8 ) ( 18 ) ( 32 )
[解析] 在 (n-1)an+1=(n+1)(a-1) 中，
令 n=1得a1=1. 令 n=2得a3=3(a2-1)=15.
令 n=3得 2a4=4(a3-1)=4×14. ∴ a4=28
∴ b1=2,b2=8,b3=18,b4=32.
(2) [解析]
猜想，b=2n. ………
下面用数学归纳法加以证明。
(3) [解析] 由(2)知 a=2n-n.
假设存在非零常数p、q，使 成等差数列，设其公数为d.
令
，则c=c1+(n-1)d=dn+(c1-d).
∴
∴2n-n=dpn+[dq+p(c1-d)]n+q(c1-d)
∴ 存在满足关系式p=-2q的非零常数p、q，使
成等差数列。