数学文科:模拟试卷四
一、选择题
1. 设M、N是两个非空集合，且M={a｜a∈N}，则M、N 间的关系为（ ）
（Ａ） M=N （Ｂ） M是N的真子集
（Ｃ） M是N的子集 （Ｄ） M∈N
2. 两异面直线a、b分别在平面α、β上，若α∩β=c，当a与c相交时，b与c（ ）
（Ａ）不相交 （Ｂ）必相交
（Ｃ）相交但不过a与c的交点 （Ｄ）相交或平行
3. 双曲线 
的焦点的坐标是（ ）
（Ａ） ( ±
,0)
（Ｂ） (±
,0)
（Ｃ） ( 0,±)
（Ｄ） (0,±)
4. 设向量
对应复数 
，把 旋转一个锐角后，得向量
，
若 对应复数 
，则 需（ ）
（Ａ） 逆时针旋转60° （Ｂ） 顺时针旋转60°
（Ｃ） 逆时针旋转30° （Ｄ） 顺时针旋转30°
5. 已知二次函数f(x)的图象是一条开口向下的抛物线，且对任意x∈R,均有f(1-x)=f(1+x)
成立。下列不等式中正确的是（ ）
（Ａ） 
（Ｂ） f(-1)＞f(2)
（Ｃ） f(-1)＜f(2) （Ｄ） f(0)＜0
6. 函数 
的单调递增区间是(k∈Z) （ ）
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
7. 命题甲：在数列{an}中，对任意m、n∈N，m≠n，都有am+1-am=an+1-an成立，
命题乙：{an}是等差数列，则甲是乙的（ ）
（Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件
（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 非充分且非必要条件
8. 函数 
的最小正周期为（ ）
（Ａ） 
（Ｂ）
π
（Ｃ） 2π
（Ｄ） 
9. 椭圆 
与双曲线 
有相同的焦点F1、F2，P是它们的一个
公共点，则｜PF1｜·｜PF2｜的值为（ ）
（Ａ） m-a
（Ｂ） 
（Ｃ） m-a
（Ｄ） m-a
10. 若sinθ、cosθ是方程 4x+2mx+m=0 的两个根，则 m 的值为（ ）
（Ａ） m∈[
,0) （Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
11. 在原坐标系中，抛物线C的方程为 y=-4x，若在移轴后的新坐标系中，它的方
程变为 y'+4x'-4y'=0，则新坐标的原点O'的原坐标为（ ）
（Ａ） (-1,-2) （Ｂ） (1,-2)
（Ｃ） (0,2) （Ｄ） (2,-1)
12. f(x)是减函数，且f(ax+3)=x(a≠0)。若f(x)的反函数 f
(x) 的定义域为
，
则f(x)的定义域为（ ）
（Ａ） [1,4] （Ｂ） [a,2a]
（Ｃ） [4,7] （Ｄ） [2a,a]
| 13. 如图，直线a在α内,b在β内,α⊥β,α∩β=c,∠1=∠2=60°则a、b所成角θ的
余弦值为（ ） |
（Ａ） 1
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
14. 从0，1，2，3，4，5这六个数中，任取两个作除法，可得出不同的锐角的正弦
值的个数为（ ）
（Ａ） 15 （Ｂ） 11
（Ｃ） 10 （Ｄ） 9
15. 已知α是方程lg(x+1)+lg2x-2lg2=lg(5x-9)的根，则无穷数列1， 
…的各项和为（ ）
（Ａ） 
或-5
（Ｂ）
（Ｃ） -5
（Ｄ） 或不存在
二、填空题
16. 若三个数a、b、c成等差数列，a、c、b成等比数列，则a:b:c=（ ）
（Ａ）3:2:1或4:1:(-2) （Ｂ）1:1:1或4:1:(-2)
（Ｃ）1:2:3或4:1:(-2) （Ｄ）1:1:1或3:1:(-2)
[分析解答]
17. 等边圆锥(轴截面为正三角形)的底圆半径为 
，它的内切球与圆锥侧面切于球的
一个小圆，则以这小圆为底的球的两个球冠的面积分别为（ ）
（Ａ）5πcm或7πcm
（Ｂ）5πcm或6πcm
（Ｃ）πcm或3πcm
（Ｄ）5πcm或9πcm
18.
[
]=
（ ）
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
19. 函数 y=(x+2x+2) +2(x+2x+2)-3，
当x=（ ）时，y取最小值为（ ）。
[分析解答]
三、解答题：
20. 已知复数z满足条件：｜
｜=，且arg
,求z的值为（ ）
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
[分析解答]
21. 已知cosα=a，cosβ=b，a+b≠0其中α是第一象限角，β是第二象限角，若角γ满足
条件：
，求tgγ的值（ ）。
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ） 
[分析解答]
22. 已知ABCD，AB=2
,BC=，∠A=60°，把△DBC沿BD折起为△DBC'。
(1) 求证：不论C'点在何位置，异面直线AD与C'B所成角与二面角C'—BD—C的
平面角相等或互补；
[分析解答]
|
(2) 当二面角C'—BD—C为30°时，求三棱锥C'—BDC的体积。
|
[分析解答]
23. 某商店有甲商品100件，乙商品50件，甲单价是乙单价的一半，现各卖出25件后，为使乙商品不滞销，商店对甲、乙商品同时调价相同的百分数，若将甲商品提价20%，乙商品降价20%，则两种商品剩余件数的平均价格下降2元，为使甲、乙两种商品原来的平均价格不变，
甲提价和乙降价的相同的百分数应该是多少? （ ）
（Ａ） 55.55% （Ｂ） 33.33%
（Ｃ） 44.44% （Ｄ） 66.66%
甲、乙两商品原价为多少? （ ）
（Ａ）甲:80元/件; 乙:110元/件 （Ｂ） 甲:120元/件; 乙:60元/件
（Ｃ）甲:60元/件; 乙:120元/件 （Ｄ） 甲:50元/件; 乙:100元/件
[分析解答]
24. 已知二次函数
f(x)=a(a+1)x-(2a+1)x+1
(1) 求函数f(x)的图象截x轴所得弦长；( $S*D$ )
（Ａ） 
（Ｂ）
（Ｃ） 
（Ｄ）
[分析解答]
(2) 用数学归纳法证明：当a依次取值1，2，3，4…n时，f(x)图象截x轴所得n条
弦长之和是 
。
[分析解答]
25. 已知锐角∠AOB=a,边OA、OB上分别有点P、Q，且△OPQ的面积为定值:S=8。当P、Q分
别在OA、OB上运动时，求PQ中点M的轨迹方程，并求｜OM｜的最小值。（ ）
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
[分析解答]
参 考 答 案
一、
1. C
2. D
[分析解答]
注意b、c共面
3. D
[分析解答]
注意焦点在y轴上，c=13
4. B
[分析解答]
求出 和的夹角θ:tgθ
5. C
[分析解答]
注意图象对称轴为x=1
6. D
[分析解答] 
令 2kπ+π≤2x+
≤2kπ+2π而得
7. C
[分析解答]
根据定义去检验
8. C
[分析解答]
9. A
[分析解答]
4c=PF
+PF
-2PF1·PF2cosθ
=(PF1+PF2)
-2PF1·PF2·(1+cosθ)
=4m-2｜PF1·PF2｜·2sin(
)
4c=(PF1-PF2) +2｜PF1·PF2｜·(1-cosθ)
=4a+2｜PF1·PF2｜·2cos()
相减：0=4a-4m+4｜PF1·PF2｜
∴ ｜PF1｜·｜PF2｜=m-a
10. B
[分析解答]
sinθ+cosθ=
m-2m-4=0
=>
=>
sinθ* cosθ=
m-4m≥0
11. A
[分析解答]
(y'-2) =-4(x'-1)
∴O'(-1,-2)
12. C
[分析解答]
设t=ax+3，则 
∴ 
≤
≤ 
=> 4≤t≤7
a＜0
13. C
[分析解答]
平移相交，利用余弦定理。
14. C
15. D
[分析解答] lg(x+1)+lg2x-2lg2=lg(5x-9)
=> 
x1=3,
x2=6
若x=3，则 
，若x=6，则S不存在。
二、
16. B
[分析解答]
a+c=2b
=> a-5ab+4b=0 => a=b=c或a=4b,c=-2b
a·b=c
17. C
[分析解答]
球半径r=1，球冠之高分别为 和 
18. D
[分析解答]
原式 = 
19. ( -1 )， ( 0 )
[分析解答]
x=-1,y最小值为0
设t=x+2x+2，则t≥1(x=-1时取等号)
y=t+2t-3=(t+1) -4
故x=-1时，y
=0
三、
20. A
[分析解答]
由已知｜｜=, 
∴
∴
∴ 
∴ 
21. B
[分析解答]
∵tg
=tg
·tg
∴ 
(∵cosα+cosβ=a+b≠0)
∵cosα=a, cosβ=b, α是第一象限角，β是第二象限角。
∴
, sinβ=
∴
22. (1)
[分析解答]
证明：在△ABD中，AB=2，AD=BC=,∠A=60°
∴BD=AB+AD-2AB·ADcos∠A
60° =9
又∵AB-AD=
-()=9
∴BD=AB-AD，即BD+AD=AB
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°
∴∠CBD=90°，BD⊥BC, ∵∠C'BD=∠CBD=90°，∴BD⊥BC'
∴∠C'BC是二面角C'—BD—C的平面角，又∵BC∥AD,
∴∠C'BC是异面直线AD与C'B所成角或其补角，命题得证。
(2) [分析解答]
由(1)得BD⊥BC，BD⊥BC'，BC∩BC'=B，
∴BD⊥平面BCC'， BD为三棱锥D—CBC'的高，BD=3.
由(1)得∠C'BC是二面角C'—BD—C的平面角，
∴∠C'BC=30 ∴S
= ·BC·BC'·sin30°=
∴V
_ = V
= S·BD =
23. B; C
[分析解答]
设甲商品原价格为a元，则乙商品原价格为2a元，甲提价与乙降价的相同
百分数为x,甲、乙商品原平均价格 
甲提价20%，乙降价20%后剩余件数的平均价格
甲提价x，乙降价x后，剩余件数的平均价格
由已知
∴ x=≈33.33%
又由已知
∴a=60, ∴2a=120
答：甲商品提价33.33%,乙商品降价33.33%平均价格不变；甲商品原价60元/件，
乙商品原价120元/件。
24. (1) D
[分析解答]
设f(x)的图象交x轴于两点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2为一元二次方程
a(a+1)x-(2a+1)x+1=0的两实根。(由已知a(a+1)≠0)
△ = (2a+1) -4a(a+1)=1＞0
∴x1、x2是两不等实根。
x1+x2=
, 
∴｜AB｜=｜x1-
x2｜=
∴｜AB｜= 
为所求弦长
(2) [分析解答]
证明：当a=1,2,3,4,…n时，弦长11=
,l2 = 
(i)当n=1时S1=l1=
∴当n=1时，等式成立
(ii)假设当n=k(k∈N)时，等式成立
即Sk=
则当n=k+1时
Sk+1=Sk+lk+1
∴ 当n=k+1时，等式成立。由(i)(ii)对任意n∈N, 
均成立。
25. B
[分析解答] 以O为原点，OA为x轴，建立直角坐标系xOy ∵在x轴正半轴上，
∴设P(x1,0)(x1＞0) 又∵Q在OB上，∠AOB=a为锐角，
∴Q点在第一象限，设 Q(x2,y2),射线OB的方程y=xtga,
∴y2=x2tga (1)式
∴
｜OP｜·｜y2｜
∴
设PQ中点M(x,y)(x＞0,y＞0)
∴ 代入(1)式得
y2=2y
即 y-xytga+4tga=0(x＞0,y＞0)为所示M点的轨迹方程。
由上述方程，得：x=yctga+
∴｜OM｜
∵y(1+ctga)＞0,
＞0
∴
≥ 
(∵a为锐角csca＞0)
∴｜OM｜≥
当 y(1+ctga)=，即 
时，式中等号成立。
∴当y=4sina时，｜OM｜
=