数学文科:模拟试卷八

一、选择题：

1. 满足关系{1}真包含于M,且M真包含于{1,2,3,4}的集合M有（ 　　）

　（Ａ） 5个　　　　　　　　　　　　　  （Ｂ） 6个

　（Ｃ） 7个　　　　　　　　　　　　　  （Ｄ） 8个

 

2. 函数 (x∈R)的值域是（ 　　）

　（Ａ） (0，1]　　　　　　　　　　 （Ｂ） (0,+∞)

　（Ｃ） (1,+∞)　　　　　　　　　　（Ｄ） [1,+∞)

3. 若a ＜ 0, b＞0且a＞b，则下列不等式正确的是（ 　　）

　（Ａ） a＞-b＞b＞-a　　　　　　　  （Ｂ） -a＞b＞-b＞a

　（Ｃ） b＞-a＞a＞-b　　　　　　　  （Ｄ） -b＞a＞-a＞b

4. 过点M(2，1)的直线l与x轴、y轴分别相交于P、Q两点，且｜MP｜=｜MQ｜

　 则直线l的方程是（ 　　）

　（Ａ） x-2y+3=0　　　　　　　　　　　 （Ｂ） 2x-y-3=0

　（Ｃ） 2x+y-5=0　　　　　　　　　　　 （Ｄ） x+2y-4=0

5. 一梯子共有11条横档，相邻两档间的距离都相等，已知最下一档长为50cm，

　 最上一档长为40cm，则从下到第7档的横档长为（ 　　）

　（Ａ） 43cm　　　　　　　　　　　　  （Ｂ） 44cm

　（Ｃ） 45cm　　　　　　　　  　　　　（Ｄ） 46cm

6. 给出命题：

　(1)异面直线是指空间两条既不平行又不相交的直线

　(2)两条异面直线a,b，如果a∥平面α,那么b不平行平面α

　(3)两条异面直线a,b,如果a⊥平面α，那么b不垂直平面α

　(4)两条异面直线在同一平面内射影不可能是两条平行线。

　对于以上四个命题,以下判断中正确的是（ 　　）

　（Ａ） (1)(3)对，(2)(4)错　　　　　　　　　 （Ｂ） (1)(2)对，(3)(4)错

　（Ｃ） (2)(3)对，(1)(4)错　　　　　　　　　 （Ｄ） (3)(4)对，(1)(2)错

7. 设等比数列,(q＞1,n∈N)的前n项和为S_n，则 （ 　　）

　（Ａ） 0　　　　　　　　　　　　　　　  （Ｂ） 1

　（Ｃ） q　　　　　　　　　　　　　　　  （Ｄ） q

8. 已知cos(α+β)+cos(α-β)=a,cos(α+β)-cos(α-β)=b

　 则(1-cos4α)(1-cos4β)的值为（ 　　）

　（Ａ）a-b　　　　　　　　　　 （Ｂ） -2ab

　（Ｃ）4ab　　　　　　　　　　 （Ｄ）

9. 若复数z满足｜z+1｜-｜z-i｜=1，则z在复平面内表示的图形是（ 　　）

　（Ａ） 圆　　　　　　　　　　　　 （Ｂ） 椭圆

　（Ｃ） 双曲线　　　　　　　　　　 （Ｄ） 直线

10. 抛物线y=关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是（ 　　）

　（Ａ）(1，0)　　　　　　　　　　　　　　 （Ｂ）(0，1)

　（Ｃ）(0，)　　　　  　　　　　　　　 （Ｄ）(,0)

11. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的直径的2倍，那么这个圆锥的全面积

　　与球面积的比为（ 　　）

　（Ａ） 2:1　　　　　　　　　　　 （Ｂ） 4:1

　（Ｃ） 2:3　　　　　　　　　  　 （Ｄ） 4:3

12. 已知 P(x,y) 是函数 y=32x 的图象在第一象限上的一点，则 x+y 的

　　最小值是（ 　　）

　（Ａ） 3　　　　　　　　　　　　　　　  （Ｂ） 4

　（Ｃ） 5　　　　　　　　　　　　　　　  （Ｄ） 6

13. 自然数n，是方程x-1997x+64=0两根的等比中项，那么

　　展开式中x的系数是（ 　　）

　（Ａ） 14　　　　　　　　　　　　 （Ｂ） -14

　（Ｃ） 56　　　　　　　　　　　　 （Ｄ） -56

14. 已知P是椭圆上的一点，F₁、F₂是该椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂=90°，

　　则△F₁PF₂的面积是（ 　　）

　（Ａ） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ｂ）

　（Ｃ） 1　　　　　　　　　　　　　　　  （Ｄ） 4

15. 已知不等式x-2ax+a＞0对于任意实数x恒成立，则不等

　　式＜＜1的解集为（ 　　）

　（Ａ） (1，2)　　　　　　　　　 　 （Ｂ） (,2)

　（Ｃ） (-2,2)　　　　　　　　　　  （Ｄ） (-3,2)

二、填空题：

16. 方程：·=2的解是（ 　　　　）

　[分析解答]

17. 有四个不同的红球，六个不同的白球，假设取出一个红球记2分，取出一个白

　　球记1分，如果每次取4个球，使总分不少于5分，这样的取法有（ 　　　 ）。

　[分析解答]

18. 设复数ω适合｜ω｜=1,复数z适合 z+ =6 ，则｜ω-z｜的最小值是( $W*2$ )

　[分析解答]

19. 如图已知△ABC为等边三角形，边长为a，D、E是BC边上的两个三等分点，沿AE、

AD折起，使B、C点重合为一点P，那么P点到平面ADE的距离是(　　　)。   （Ａ）　　　　　 （Ｂ） 　（Ｃ）　　　　　 （Ｄ）

[分析解答]　

三、解答题

20. 已知复数z满足｜z｜-z=，若u=z，求复数 u 的代数形式。(　　　)

　 　　(k=0,1)

　[分析解答]

 

21. 已知　求tgx的值( $W*1$ )。

  [分析解答]

22. 正四面体A—BCD中的棱长为a，E是AB的中点。 　(1) 求证平面ABC⊥平面CED。

　[分析解答]  

　(2) 求异面直线DE与BC所成的角的余弦值(　　　)。

　　 （Ａ）　　　　　　　　　 （Ｂ）。

　　 （Ｃ）　　　　　　　　　 （Ｄ）。

 [分析解答]

23. 已知函数  (1+x)(a＞0且a≠1)对于任意x₁＞0,x₂＞0，试判断

与 的大小关系(　　　)。

　（Ａ）＞

　（Ｂ）≤

　（Ｃ）＜

　（Ｄ）≥

　[分析解答]  

24. 已知数列 {a_n} 的前n项和为S_n 且  (n∈N)

　 (1) 判断数列 {a_n} 是怎样的数列，并说明理由。

　[分析解答]

　(2) 试用 n 表示S_n。

　 　[分析解答]

25. 设抛物线 C 的准线方程为 ，点(6，2)在其对称轴上，且直线l:y=x-1

　　被抛物线 C 截得的弦长为 ，求抛物线 C 的方程(　　　)。

　（Ａ）(y-2)=x+1　　 　　　　　　　 （Ｂ）(y-4) =x-1

　（Ｃ）(y-2) =x-1　　　　　　　　　 （Ｄ）(y+2) =x-1

　[分析解答]

 参 考 答 案

一、

1. B

　[分析解答] 由{1}＜M＜{1,2,3,4}知，集合M是集合{1}的真子集，又是集合{1,2, 3,4}的真子集，而集合{1,2,3,4}比集合{1}多3个元素，于是符合要求的集合M的个数是 2-1-1=6个。

2. D

　[分析解答]

　｜x+1｜ ≥ 0

3. B

　[分析解答]　a＜0, b＞0, a＞b

　(-a) ＞b

　　　　　　　　  => -a＞b

　-a＞0, b＞0

　∴　　　　　　  => ∴-a＞b＞-b＞a。

　b＞0, ∴ b＞-b

　-a＞b, -b＞a

4. D

　[分析解答] 

　设所求直线方程为

　　　a=4　　　　　 　　b=2

　∴　　∴x+2y-4=0

5. B

　[分析解答]

　a₁=50,a₁₁=40　　∴ 40=50+10d　 d=-1

　所求a₇=50+(7-1)×(-1)=44

6. A

7. D

　[分析解答]　q＞1, ∴

　

　

8. C

　[分析解答]

　cos(α+β)+cos(α-β)=a

　∴2cosαcosβ=a　cos(α+β)-cos(α-β)=b　 ∴-2sinαsinβ=b

　(1-cos4α)(1-cos4β) = 2sin2α·2sin2β

　= 4(2cosαcosβ) (2sinαsinβ)  = 4a(-b)  = 4ab

9. D

　[分析解答]

　设z=x+yi,｜z+1｜-｜z-i｜=1

　∴(x+1) +y-x-(y-1) =1

　∴x+2x+1+y-x-y+2y-1=1

　∴2x+2y-1=0表示直线。

10. C

　[分析解答] 

　y=x关于x-y=0对称，得x=,

∴ 该抛物线

　 的焦点为(0，)

11. A

　[分析解答] 

9R=R+16r,8R=16r

　

　

　

12. D

　[分析解答] 

　y=32x,(x,y) 点在第一象限，∴x＞0,y＞0,xy=32

　≥

　又解：　 (x,y＞0)

　≥

13. B

　[分析解答] x₁x₂=64,n=±=±8,n∈N, n=8

　,

　　∴16-3r=7 3r=9　r=3

　x系数为(-1)·2

14. C

　[分析解答] 

　　 

　∠F₁PF₂=90°，设P点的两条焦点半径为r₁,r₂,

　那么(2c) = + =(r₁+r₂) -2r₁r₂

　r₁+r₂=2a=2×2=4. 　　　∴

　r₁r₂=　　S△F₁PF₂=r₁r₂=·2=1

15. A

　[分析解答] 

　x-2ax+a＞0,x∈R

　∴△=4a-4a＜0　　a(a-1)＜0　　0＜a＜1

　a＜a＜1

　2x+1＞0　　 x＞

　x+2x-3＞0　　(x+3)(x-1)＞0,x＜-3或x＞1

　2x+1＞x+2x-3　 x＜4, -2＜x＜2

　x＞

　x＜-3或x＞1　 1＜x＜2　 　-2＜x＜2

二、

16. ( x=0 )

　[分析解答]

　

　

　

　

　

　2+1=2　　2=1　　　x=0

17. ( 195 )

　[分析解答]

　取四个球，不能同时取4个全是白球，此时总分为4分而小于5分，所以

　

18. ( 2 )

　[分析解答]

｜ω｜=1,ω对应点为单位圆　　　 又z=x+yi 　那么 z+=6,∴2x=6,x=3 　　 　∴ z=3+yi 　z对应的点为(3，0)点且与x轴垂直的直线。 　显然｜ω-z｜最小值是z与ω的最短距离是2。

19. D

[分析解答]　

　取DE中点O，连AO、PO。  正△ABC中，,

　PA=AB=AC=a,

　正△PDE中，

　△POA中：

　作PH⊥AO,∴PH为P点到平面ADE的距离

　

三、

20. 对

　[分析解答]  ｜z｜-z=

　设z=x+yi  ∴

　

　　　　　　　 y=-1代入上式

　-y=1

　 　x+1=1+2x+x　x=0

　x=0

　　　 ∴z=-i

　y=-1

　u=z ∴u=-i　u=cos+isin

　 

　,(k=0,1)

　 

　

21. 1

  [分析解答]  

　　　　　 　　　 

　　　　　　 ,　　　　tgx+sin2x=2+2cos2x

　 

　 tgx+tgx+2tgx=2+2tgx+2-2tgx

　∴tgx+3tgx-4=0

　tgx-tgx+tgx-tgx+4tgx-4=0

　(tgx-1)(tgx+tgx+4)=0

　tgx+tgx+4恒大于零

　∴tgx-1=0

　tgx=1

　22.(1)

　[分析解答]  证：

　正四面体A—BCD中，△ABC，△ABD为正三角形。

　E为AB中点，∴AB⊥CE,AB⊥DE ∴AB⊥平面CED

　∵AB在平面ABC内， ∴平面ABC⊥平面CED。

　(2) B

　[分析解答] 作EF∥BC,E是AB中点，EF=，

连结DF，正△DAC中， ,同样 　△DEF中，cos∠DEF=

　∴异面直线DE、BC成角∠DEF的余弦值为。

23. D

　[分析解答]  (1+x)(a＞0且a≠1)

　

　

　

　x₁,x₂∈(0,+∞) ∴≤  

∴a＞1时 ≤

　≤

　0 ＜ a ＜ 1时 ≥

　≥

24. (1)

　[分析解答]

　

　　3a_n=-2a_n+2a_n-1　∴5a_n=2a_n-1

　　又S₁=a₁　 ∴ a₁=1-, 　 

　{a_n} 是首项为 ，公比为  的等比数列。

　

　(2)

　 　[分析解答]

　S_n=1-a_n,a_n=S_n-S_n-1　 ∴S_n=1-(S_n-S_n-1)

　3S_n=3-2S_n+2S_n-1　 　　　 5S_n-2S_n-1=3

　　 

　由　得 　 

　　　　　 　　 

　数列}为首项,公比为的等比数列。

　数列的前n-1项的和为

　即　

　　 由 即得　

 (n ≥ 2)

　∴  (N∈N)　∴{a_n}为首项 ,公比为 的等比数列。

25. C

　[分析解答]

　所求抛物线准线为 ,　点(6，2)在对称轴上　∴抛物线的对称轴为y=2

　又抛物线被直线y=x-1所截 ∴抛物线必开口向右设抛物线顶点为(x_O,2)，

　且x_O＞　∴ 　 

　抛物线方程为

　(y-2) =(4x₀-3)(x-x₀)　 y=x-1

　∴(x-3) =(4x₀-3)(x-x₀)　 x-6x+9=4x₀x-3x-+3x₀

　∴x-(3+4x₀)x+-3x₀+9=0 被直线所截得的弦长为,

　得

　9+24x₀+-+12x₀-36=9  36x₀-36=0

　x₀=1　 所求抛物线方程为：(y-2) =x-1