全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:57:55 下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(三)

(命题人:吴伟朝)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、 若集合S={nn是整数,且22n+2整除2003n+2004},则S

(A)空集   (B)单元集   (C)二元集   (D)无穷集

2、 若多项式x2x+1能除尽另一个多项式x3x2axbab皆为常数).则ab等于

(A)0      (B)-1    (C)1     (D)2

3、 设a是整数,关于x的方程x2+(a-3)xa2=0的两个实根为x1x2,且tan(arctan x1+arctan x2)也是整数.则这样的a的个数是

(A)0      (B)1     (C)2     (D)4

4、 设一个四面体的体积为V1,且它的各条棱的中点构成一个凸多面体,其体积为V2.则

(A)             (B)

(C)常数,但不等于    (D)不确定,其值与四面体的具体形状有关

5、 在十进制中,若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外,其余各个数字都小于其左边的数字时,则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为

(A)1001    (B)1010    (C)1011    (D)1013

6、 在正方体的8个顶点中,能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是

(A)36     (B)37     (C)48     (D)49

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、 若直线xcosysin=cos2-sin2(0<=与圆x2y2有公共点,则的取值

范围是          

2、 在平面直角坐标系xOy中,一个圆经过(0,2)、(3,1),且与x轴相切.则此圆的半径等于       

3、 若常数a使得关于x的方程

lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0

有惟一解.则a的取值范围是       

4、 f(x)=xcosx+cos(2x)(xR)的最小值是       

5、 若k是一个正整数,且2k整除

k的最大值为         

6、 设ABCD为凸四边形,AB=7,BC=4,CD=5,DA=6,其面积S的取值范围是(a,b] .则ab     

三、(20分)

设椭圆的左右焦点分别为F1F2,左准线为l,点P在椭圆上.作PQlQ为垂足.试问:对于什么样的椭圆,才存在这样的点P,使得PQF1F2为平行四边形?说明理由(答案用关于离心率e的等式或不等式来表示).

四、(20分)

a0=1,a1=2,an+1=2an-1nn=1,2,3,….试求出an的表达式(答案用有限个关于n的式子相加的形式表示,且项数与n无关).

五、(20分)

试求出所有的有序整数对(a,b),使得关于x的方程x4+(2ba2)x2-2axb2-1=0的各个根均是整数.

第二试

一、(50分)

P在△ABC内,且∠BAP=∠CAP,连结BP并延长交AC于点Q.设∠BAC=60°,且

求证:P是△ABC的内心.

二、(50分)

    设正数ab满足且使得关于x的不等式

  总有实数解.试求f(a,b)=a2-3abb2的取值范围.

三、(50分)

试求出正整数k的最小可能值,使得下述命题成立:对于任意的k个整数a1,a2,…,ak(允许相等),必定存在相应的k的整数x1,x2,…,xk(也允许相等),且xi≤2(i=1,2,…,k),x1x2+…+xk≠0,使得2003整除x1a1x2a2+…+xkak


参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

B

A

D

C

二、填空题:

  1、;       2、

  3、;          4、-1;

  5、2004;              6、

三、

四、a2n=2n+2-2n-3;a2n+1=3×2 n+1-2n-4.

五、(a,b)=(2l―1,l2l―1)(lZ)

第二试

一、证略(提示:将条件变形为,然后应用正弦定理,进行三角变换,得∠BPC=120°,利用同一法即证);

二、(-∞,-1).

三、kmin=7.