全国高中数学联赛模拟试题(三)

（命题人：吴伟朝）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、　若集合S＝{nn是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集　　 （B）单元集　　 （C）二元集　　 （D）无穷集

2、　若多项式x²－x＋1能除尽另一个多项式x³＋x²＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于

（A）0　　　　　 （B）－1　　　　（C）1　　　　　（D）2

3、　设a是整数，关于x的方程x²＋(a－3)x＋a²＝0的两个实根为x₁、x₂，且tan(arctan x₁＋arctan x₂)也是整数．则这样的a的个数是

（A）0　　　　　 （B）1　　　　　（C）2　　　　　（D）4

4、　设一个四面体的体积为V₁，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V₂．则为

（A）　　　　　　　　　　　　 （B）

（C）常数，但不等于和　　　 （D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、　在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为

（A）1001　　　　（B）1010　　　 （C）1011　　　 （D）1013

6、　在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是

（A）36　　　　　（B）37　　　　 （C）48　　　　 （D）49

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、　若直线xcos＋ysin＝cos²－sin²（0＜＜＝与圆x²＋y²＝有公共点，则的取值

范围是　　　　　　　　　  ．

2、　在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则此圆的半径等于　　　　　　  ．

3、　若常数a使得关于x的方程

lg(x²＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0

有惟一解．则a的取值范围是　　　　　　　 ．

4、　f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是　　　　　　　 ．

5、　若k是一个正整数，且2^k整除

则k的最大值为　　　　　　　　  ．

6、　设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是(a,b] ．则a＋b＝　　　　　 ．

三、（20分）

设椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF₁F₂为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．

四、（20分）

设a₀＝1，a₁＝2，a_n+1＝2a_n-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出a_n的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．

五、（20分）

试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x⁴＋(2b－a²)x²－2ax＋b²－1＝0的各个根均是整数．

第二试

一、（50分）

点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且．

求证：P是△ABC的内心．

二、（50分）

　　　　设正数a、b满足且使得关于x的不等式

≥

　　总有实数解．试求f(a,b)＝a²－3ab＋b²的取值范围．

三、（50分）

试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a₁,a₂,…,a_k（允许相等），必定存在相应的k的整数x₁,x₂,…,x_k（也允许相等），且x_i≤2(i＝1,2,…,k)，x₁＋x₂＋…＋x_k≠0，使得2003整除x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_ka_k．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6
答案	C	C	B	A	D	C

二、填空题：

　 1、；　　　　　　 2、；

　 3、；　　　　　　　　　　4、－1；

　 5、2004；　　　　　　　　　　　　　　6、．

三、．

四、a_2n＝2ⁿ⁺²－2n－3；a_2n+1＝3×2 ⁿ⁺¹－2n－4．

五、(a,b)＝(2l―1,l²―l―1)(l∈Z)

第二试

一、证略（提示：将条件变形为，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；

二、(－∞，－1)．

三、k_min＝7．