全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:57:58 下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(五)

(命题人:罗增儒)

第一试

一、     选择题:(每小题6分,共36分)

1、 空间中nn≥3)个平面,其中任意三个平面无公垂面.那么,下面四个结论

(1)    没有任何两个平面互相平行;

(2)    没有任何三个平面相交于一条直线;

(3)    平面间的任意两条交线都不平行;

(4)    平面间的每一条交线均与n-2个平面相交.

其中,正确的个数为

(A)1      (B)2     (C)3     (D)4

2、 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段,则当c∈(a,b)时,f(c)的近似值可表示为

(A)        (B)

(C)   (D)

3、 设abca+b+c=1,且a2+b2+c2=1,则

(A)a+b>1           (B)a+b=1

(C)a+b<1           (D)不能确定,与ab的具体取值有关

4、 设椭圆的离心率,已知点到椭圆上的点的最远距离是,则短半轴之长b=

(A)     (B)     (C)     (D)

5、 S={1,2,…,2003},AS的三元子集,满足:A中的所有元素可以组成等差数列.那么,这样的三元子集A的个数是

(A)            (B)

(C)        (D)

6、 长方体ABCD-A1B1C1D1AC1为体对角线.现以A为球心,ABADAA1AC1为半径作四个同心球,其体积依次为V1V2V3V4,则有

(A)V4V1+V2+V3            (B)V4=V1+V2+V3

(C)V4V1+V2+V3               (D)不能确定,与长方体的棱长有关

二、     填空题:(每小题9分,共54分)

1、已知,则k的取值范围为          

2、等差数列{an}的首项a1=8,且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上,则这样的等差数列共有       个.

3、在四面体P-ABC中,PA=PB=aPC=AB=BC=CA=b,且ab,则的取值范围为          

4、动点A对应的复数为z=4(cos+isin),定点B对应的复数为2,点C为线段AB的中点,过点CAB的垂线交OAD,则D所在的轨迹方程为          

5、被8所除得的余数为        

6、圆周上有100个等分点,以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为  

三、     (20分)

已知抛物线y2=2px(p>0)的一条长为l的弦AB.求AB中点My轴的最短距离,并求出此时点M的坐标.

四、     (20分)

单位正方体ABCD-A1B1C1D­1中,正方形ABCD的中心为点M,正方形A1B1C1D­1的中心为点N,连ANBM

(1)求证:ANBM为异面直线;

(2)求出ANBM的夹角.

五、     (20分)

对正实数abc.求证:

≥9.

第二试

一、     (50分)

ABCD是面积为2的长方形,P为边CD上的一点,Q为△PAB的内切圆与边AB的切点.乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化,当PA·PB取最小值时,

(1)证明:AB≥2BC

(2)求AQ·BQ的值.

二、     (50分)

给定由正整数组成的数列

n≥1).

(1)求证:数列相邻项组成的无穷个整点

(a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),…

均在曲线x2+xy-y2+1=0上.

(2)若设f(x)=xn+xn-1-anx-an-1g(x)=x2-x-1,证明:g(x)整除f(x).

三、     (50分)

我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划,如果

(1)

(2),1≤ijn

求最小正整数m,使得对A={1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13,一定存在某个集合A(1≤i≤13),在Ai中有两个元素ab满足bab


参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

D

C

A

C

B

C

二、填空题:

  1、 ;       2、17;

  3、;          4、

  5、4;                6、117600.

三、

四、(1)证略;              (2)

五、证略.

第二试

一、(1)证略(提示:用面积法,得PA·PB最小值为2,此时∠APB=90°);

(2)AQ·BQ=1.

二、证略(提示:用数学归纳法).

三、m=117.