全国高中数学联赛模拟试题(五)

（命题人：罗增儒）

第一试

一、　　　　 选择题：（每小题6分，共36分）

1、　空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论

（1）　　　 没有任何两个平面互相平行；

（2）　　　 没有任何三个平面相交于一条直线；

（3）　　　 平面间的任意两条交线都不平行；

（4）　　　 平面间的每一条交线均与n-2个平面相交．

其中，正确的个数为

（A）1　　　　　 （B）2　　　　　（C）3　　　　　（D）4

2、　若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为

（A）　　　　　　　　（B）

（C）　　 （D）

3、　设a＞b＞c，a+b+c=1，且a²+b²+c²=1，则

（A）a+b＞1　　　　　　　　　　　（B）a+b=1

（C）a+b＜1　　　　　　　　　　 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关

4、　设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b=

（A）　　　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D）

5、　S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是

（A）　　　 　　　　　　　　（B）

（C）　　　　　　　　（D）

6、　长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AC₁为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA₁、AC₁为半径作四个同心球，其体积依次为V₁、V₂、V₃、V₄，则有

（A）V₄＜V₁+V₂+V₃　　　　（B）V₄=V₁+V₂+V₃

（C）V₄＞V₁+V₂+V₃（D）不能确定，与长方体的棱长有关

二、　　　　 填空题：（每小题9分，共54分）

1、已知，则k的取值范围为　　　　　　　　　  ．

2、等差数列{a_n}的首项a₁=8，且存在惟一的k使得点(k,a_k)在圆x²+y²=10²上，则这样的等差数列共有　　　　　　 个．

3、在四面体P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取值范围为　　　　　　　　　  ．

4、动点A对应的复数为z=4(cos+isin)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为　　　　　　　　　  ．

5、被8所除得的余数为　　　　　　　　 ．

6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为　　．

三、　　　　 （20分）

已知抛物线y²=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．

四、　　　　 （20分）

单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D_­1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A₁B₁C₁D_­1的中心为点N，连AN、B_1­M．

（1）求证：AN、B_1­M为异面直线；

（2）求出AN与B_1­M的夹角．

五、　　　　 （20分）

对正实数a、b、c．求证：

≥9．

第二试

一、　　　　 （50分）

设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，

（1）证明：AB≥2BC；

（2）求AQ·BQ的值．

二、　　　　 （50分）

给定由正整数组成的数列

（n≥1）．

（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点

(a₁,a₂)，(a₃,a₄)，…，(a_2k-1,a_2k)，…

均在曲线x²+xy-y²+1=0上．

（2）若设f(x)=xⁿ+x^n-1-a_nx-a_n-1，g(x)=x²-x-1，证明：g(x)整除f(x)．

三、　　　　 （50分）

我们称A₁,A₂,…,A_n为集合A的一个n分划，如果

（1）；

（2），1≤i＜j≤n．

求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A₁,A₂,…,A₁₃，一定存在某个集合A_i­(1≤i≤13)，在A_i中有两个元素a、b满足b＜a≤b．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6
答案	D	C	A	C	B	C

二、填空题：

　 1、 ；　　　　　　　2、17；

　 3、；　　　　　　　　　　4、；

　 5、4；　　　　　　　　　　　　　　　 6、117600．

三、．

四、（1）证略；　　　　　　　　　　　　　　（2）．

五、证略．

第二试

一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）；

（2）AQ·BQ=1．

二、证略（提示：用数学归纳法）．

三、m=117．