全国高中数学联赛模拟试题(六)
（命题人：秦永 苟春鹏）
第一试
一、 选择题：（每小题6分，共36分）
1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，
的实部为零，argz1=
，则z2=
（A）
（B）
（C）
（D）
2、已知函数
在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
3、已知双曲线过点M(-2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是
（A）
（y≠0）或x=1（y≠0）
（B）
（x≠0）或x=1（y≠0）
（C）
（y≠0）或y=1（x≠0）
（D）
（x≠0）或y=1（x≠0）
4、已知正实数a、b满足a+b=1，则
的整数部分是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是
（A）9米 （B）10米 （C）12米 （D）15米
6、一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
二、 填空题：（每小题6分，共36分）
1、长方形ABCD的长AB是宽BC的
倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是
．
2、在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C的最大值是 ．
3、从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是 ．
4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3-x，g(x)=
，则f(x)*g(x)的最大值为
．
5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 不同的取法．
6、若实数a＞0，则满足a5-a3+a=2的a值属于区间：①
；②
；③
；④
．其中正确的是
．
三、 （20分）
求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积
四、 （20分）
直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ．求证：
．
五、 （20分）
某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？
表1 各部每1万元营业额所需人数表
| 部门 | 人数 |
| 百货部 | 5 |
| 服装部 | 4 |
| 家电部 | 2 |
表2 各部每1万元营业额所得利润表
| 部门 | 利润 |
| 百货部 | 0.3万元 |
| 服装部 | 0.5万元 |
| 家电部 | 0.2万元 |
第二试
一、 （50分）
矩形ABCD的边AD=·AB，以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．
二、 （50分）
若ai∈R+（i=1,2,…,n），
，且2≤n∈N．
求证：
≥
．
三、 （50分）
无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=1-1-2cn，而0≤c1≤1．
（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．
（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？
参考答案
第一试
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | A | C | A | B | C | C |
二、填空题：
1、； 2、
；
3、
； 4、
；
5、2500； 6、③④．
三、证略．
四、证略．
五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．
第二试
一、
；
二、证略．
三、 （1）证略．
（2）无穷个．