全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:58:01 下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(七)

(选题人:李潜)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、ab是异面直线,直线ca所成的角等于cb所成的角,则这样的直线c

(A)1条      (B)2条    (C)3条    (D)无数条

2、已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)-g(x)=x2+2x+3,则f(x)+g(x)=

(A)-x2+2x-3  (B)x2+2x-3  (C)-x2-2x+3  (D)x2-2x+3

3、已知△ABCO为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则使AB+BC+CAm(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

(A)2      (B)     (C)    (D)

4、设x=0.820.5y=sin1,z=log3xyz的大小关系是

(A)xyz   (B)yzx  (C)zxy  (D)zyx

5、整数的末尾两位数字是

(A)10     (B)01     (C)00     (D)20

6、设(a,b)表示两自然数ab的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为

(A)1      (B)2     (C)1或2   (D)可能大于2

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、若f(x)=x10+2x9-2x8-2x7+x6+3x2+6x+1,则f(-1)=        

2、设F1F2是双曲线x2-y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1引∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是    

3、给定数列{xn},x1=1,且,则x1999-x601=     

4、 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,ECD中点,FBB1中点,则四面体AD1EF的体积是        

5、在坐标平面上,由条件所限定的平面区域的面积是   

6、12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要      周.

三、(20分)

已知椭圆过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线y=x的交点为BC.现有以A为焦点,过BC且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标M(m,0).当椭圆的离心率e满足,求实数m的取值范围.

四、(20分)

      abc均为实数,abbcca

证明:<2.

五、(20分)

      已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足

      (i)abcd均大于0;

      (ii)对于任一个x∈{-2, -1,0,1,2},f(x)为整数;

      (iii)f(1)=1,f(5)=70.

      试说明,对于每个整数xf(x)是否为整数.

第二试

一、(50分)

K为△ABC的内心,点C1B1分别为边ABAC的中点,直线ACC1K交于点B2,直线ABB1K交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB

二、(50分)

      设f(x)=(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9).

  求证:f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积.

三、(50分)

在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过120°的弧的条数的最小值.

参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

D

A

C

B

C

C

二、填空题:

  1、4;                2、x2+y2=4;

  3、0;                4、

  5、16;               6、5.

三、

四、证略.

五、是.

第二试

一、60°;

二、证略.

三、100.