全国高中数学联赛模拟试题(十)

（命题人：杨建忠　审题人：李潜）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、　设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

（A）45　　　　　（B）27　　　　 （C）15　　　　 （D）11

2、　已知sin2=a，cos2=b，0＜＜，给出值的五个答案：

①；　　　 ②；　　　 ③；　　　 ④；　 ⑤．

其中正确的是：

（A）①②⑤　　　（B）②③④　　 （C）①④⑤　　 （D）③④⑤

3、　若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

（A）64　　　　　 （B）66　　　　 （C）68　　　　（D）70

4、　递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

（A）729　　　　 　（B）972　　　　（C）243　　　（D）981

5、　（其中，[x]表示不超过x的最大整数）的值为

（A）　　　　　　　　　　　　（B）

（C）　　　　　（D）

6、　一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是

（A）8568　　　　　　（B）2142　　　 （C）2139　　　 （D）1134

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、　过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=PH（≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是　　　　 

　　　．

2、　已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角（0＜＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f()=　　　　　 ．

3、　不等式的解集为　　　　　　　　　  ．

4、　设复数z满足条件z-i=1，且z≠0，z≠2i，又复数使得为实数，则复数-2的辐角主值的取值范围是　　　　　　　 ．

5、　设a₁,a₂,…,a₂₀₀₂均为正实数，且，则a₁a₂…a₂₀₀₂的最小值是　　　　　　　　  ．

6、　在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，等），否则称它为“非优选”数码（如，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为　　　　　　　 ．

三、（20分）

　　　　　　已知数列{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，且前n项和为S_n．

（1）　　　 用S_n表示S_n+1；

（2）　　　 是否存在自然数c和k，使得＞2成立．

四、（20分）

设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且EF=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．

五、（20分）

已知定义在R⁺上的函数f(x)满足

　　　　（i）对于任意a、b∈R⁺，有f(ab)=f(a)+f(b)；

　　　　（ii）当x＞1时，f(x)＜0；

　　　　（iii）f(3)=-1．

现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)f(p²+1)-f(5q)-2＞0，p、q∈R⁺}，集合B={(p,q)f()+=0，p、q∈R⁺}．试问是否存在p、q，使，说明理由．

第二试

一、（50分）

如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若，求证：∠POQ=60°．

二、（50分）

已知数列a₁=20，a₂=30，a_n+2=3a_n+1-a_n（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5a_na_n+1是完全平方数．

三、（50分）

设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：

（1）　　　 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；

（2）　　　 三角形的内心是坐标原点．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6
答案	A	C	B	D	D	B

二、填空题：

　 1、；　　　　　　　　　　　　　　2、；

　 3、；　　　　　　　 4、；

　 5、4002²⁰⁰²；　　　　　　　　　　　　 6、．

三、（1）；　　　　　　　　　　（2）不存在．

四、．

五、不存在．

第二试

一、证略；

二、n=3．

三、 p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．