机械能守恒定律
一、知识点综述：
1. 在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变.
2. 对机械能守恒定律的理解：
（1）系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能.
即 E1 = E2 或 1/2mv12 + mgh1= 1/2mv22 + mgh2
（2）物体（或系统）减少的势能等于物体(或系统)增加的动能，反之亦然。
即 -ΔEP = ΔEK
（3）若系统内只有A、B两个物体，则A减少的机械能EA等于B增加的机械能ΔE B 即 -ΔEA = ΔEB
二、例题导航：
3.
例1、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 。
解：系统的机械能守恒，ΔEP +ΔEK=0
因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，
例 2. 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.
解：对系统由机械能守恒定律
4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv2
∴ v2=2gS/5
细线断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律
mgH= mgS+1/2× mv2
∴ H = 1.2 S
例 3. 如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。
（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在
两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M= m的重物，使两个小圆
环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子
与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．
（2）若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?
解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度
为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h ，
由机械能守恒定律得
解得
（另解h=0舍去）
(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为
a． 两小环同时位于大圆环的底端．
b．两小环同时位于大圆环的顶端．
c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．
d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图所示)．
对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有T=mg
对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T、 竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.
两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反
得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °
例 4. 如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B则离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
解:开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为x1,
挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x2，有
此时，A和C速度均为零。从挂C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为
将C换成D后，有
联立以上各式可以解得
针对训练
1．在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m. 现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为Ep，则碰前A球的速度等于 （
）
2．质量为m的物体，在距地面h高处以g /3的加速度由静止竖直下落到地面，
下列说法中正确的是： （ ）
A. 物体的重力势能减少 1/3 mgh
B. 物体的机械能减少 2/3 mgh
C. 物体的动能增加 1/3 mgh
D. 重力做功 mgh
3．一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示．在A点时，物体开始接触弹簧；到B点时，物体速度为零，然后被弹回．下列说法中正确的是 [bcd ]
A．物体从A下降到B的过程中，动能不断变小
B．物体从B上升到A的过程中，动能先增大后减小
C．物体由A下降到B的过程中，弹簧的弹性势能不断增大
D．物体由B上升到A的过程中，弹簧所减少的弹性势能等于物体所增加的动能与增加的重力势能之和
4. 长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，
如图所示.轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离
开滑轮的瞬间，绳子的速度为
.
5.一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，
一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能
抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入
A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= ______
6.将质量为M和3M的两小球A和B分别拴在一根细绳的两端，绳长为L，开始时B球静置于光滑的水平桌面上，A球刚好跨过桌边且线已张紧，如图所示．当A球下落时拉着B球沿桌面滑动，桌面的高为h，且h＜L．若A球着地后停止不动，求：（1）B球刚滑出桌面时的速度大小．（2）B球和A球着地点之间的距离．
 |
7.如图所示, 半径为r, 质量不计的圆盘盘面与地面相垂直, 圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B. 放开盘让其自由转动, 问 :
(1)当A球转到最低点时, 两小球的重力势能之和减少了多少?
(2)A球转到最低点时的线速度是多少?
(3)在转动过程中半径OA向左偏离
竖直方向的最大角度是多少?
8. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为L，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围？
9.将细绳绕过两个定滑轮A和B．绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为M的小球，M<2m，A、B间距离为l，开始用手托住M使它们都保持静止，如图所示。放手后M和2个m开始运动。求(1)小球下落的最大位移H是多少？(2)小球的平衡位置距C点距离h是多少？
10．如图所示，桌面上有许多大小不同的塑料球，它们的密度均为ρ，有水平向左恒定的风作用在球上；使它们做匀加速运动（摩擦不计），已知风对球的作用力与球的最大截面面积成正比，即F＝kS(k为一常量).
(1)
对塑料球来说，空间存在一个风力场，请定义风力场强度及其表达式.
(2)在该风力场中风力对球做功与路径无关，可引入风力势能和风力势的概念，若以栅栏P零风力势能参考平面，写出风力势能EP和风力势U的表达式。
(3)写出风力场中机械能守恒定律的表达式.（球半径用r表示；第一状态速度为v1，位置为x1；第二状态速度为v2，位置为x2）
参考答案:
1. C 2. BCD 3. BCD
4. 解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.
5. 解：第一次恰能抵达B点，不难看出
v B1=0
由机械能守恒定律mg h1 =mgR+1/2·mvB12
∴h1 =R
第二次从B点平抛
R=vB2t R=1/2·gt 2
mg h2 =mgR+1/2·mvB22
h2 =5R/4
h1 ：h2 = 4：5
6.
7. 解： （1）ΔEP = mgr - mgr/2 =
mgr/2
(2)
由系统机械能守恒定律 得
（3）设 OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ，
由系统机械能守恒定律 得
mgr× cosθ – mgr/2× (1+sinθ )=0
2cosθ=1+sinθ,
4(1-sin2θ)=1
+2sinθ +sin2θ,
5sin2θ+2sinθ- 3=0
Sinθ=0.6 ∴θ=37°
8. 解：设BC=r，若刚能绕B点通过最高点D，必须有mg=mvD 2 /r （1）
由机械能守恒定律
mg(L-2r)=1/2m vD 2 （2）
∴r = 2L / 5
d=L-r= 3L/5
∴ d 的取值范围 3/5 L d <L
9.解：(1)如答案图(a)所示，M下降到最底端时速度为零，此时两m速度也为零，M损失的重力势能等于两m增加的重力势能(机械能守恒)
解得
(2)如答案图(b)所示，当M处于平衡位置时，合力为零，T=mg，
则Mg-2mgsinα=0
10．(1)风力场强度：风对小球的作用力与对小球最大截面积之比，
即E＝F/S＝k
(2)距P为x处，EP＝Fx＝kSx U＝EP/S＝kS
(4) 2ρrv12/3+kx1＝2ρrv22/3+kx2