高一物理两段问题的思路与方法

一、两段问题的一般思路和方法

1. 两段问题的含义。 两段问题是指题目中一个物体的运动，按题意可分为前后两个阶段，例如，物体从斜面上滑下，后来又在水平面上运动，就是一个物体的两段问题。

这类问题较为普遍，其解答又能够较好地锻炼学生的能力，学生应该很好地掌握分析解答的思路和方法。

2. 两段问题的思路。 这个思路可概括为十六个字：两段分析，两段关系，两段列式，综合求解。

两段分析： 用画运动示意图的方法，分析两段运动的性质和条件。

两段关系： 仍用画运动示意图方法，找出两段的联系条件，特别是隐含的条件。

两段列式： 选用恰当的公式，列出两段的具体表达式，两段运动性质相同的题目，常常要同一个公式用两次，列出两段的两个表达式。

综合求解： 综合分析各表达式的关系，注意已知量和未知量的关系，解出答案。解答这类问题的数学方法，一般有方程法、比例法和函数图象法等。

二、两段问题方程法 两段问题方程法，是指列式后用解方程组的方法求出答案。

[例1] 雨滴从屋檐自由落下，经过窗子的时间为0.20秒，如果屋檐高出窗子的下边1.8米，求窗子的高度是多少？（=10米/秒）

[分析] 题目把雨滴的自由落体运动，分解为加速度相等的两段，为了便于分析，画出运动示意图

如图1-3示。

[解答] 两段分析：两段加速度皆为，经过第2段的时间为秒。

两段关系：通过两段的总时间为，总位移为米。

两段列式： 对前段：

对整段：

由（2）式解出 秒

所以 秒

不难解得 米， 米

在此题的答案中，选前段和整段列式，都是自由落体运动，用同一公式列两个表达式，较为简便。

[例2] 物体以某初速度开始做匀变速直线运动，经前后两段的时间都是，而位移依次是和。求运动的加速度。

[解答] 是加速度相同的两段问题。

两段分析：两段时间皆为，加速度均为，而位移和不可能相同。

两段关系：总时间，总位移

两段列式：应用

对段： ………(1)

对段： ………(2)

综合求解：（1）式乘2再减（2）式得

所以

说明：如果要求，可将的答案代入（1）式得

。

[例3] 物体以初速度开始做匀变速直线运动，经过一段位移后末速度为，求它运动此位移的一半时的速度是多少？

[解答] 是加速度相同的两段问题。

两段分析：两段加速度相同，位移也相同。

两段关系：设每段位移皆为，则总位移为。

两段列式：选用公式，设位移一半时的速度为，则：

对前段：

对整段：

综合求解：消去，易解得

所以

说明：解答例1、例2和例3时，比较机械地按四个步骤进行。主要是给读者一个思路的示范，其实在实际的问题解答时，并非一定要这样，事实上，两段分析和找两段的关系。经常是联在一起进行。

[例4] 一个静止的物体从A点出发沿直线运动到达B点，它先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度大小分别为，到达B点时，速度正好为零。若总位移为，求运动的总时间是多少？

[分析] 设前后两段的位移和时间分别为和、和，则，总时间。两段加速度不相等，宜用单段法，此题的未知量较多，可能要用两个公式列四个式子，方能求出答案。

设物体从匀加速运动变成匀减速运动时的速度为，其解答于下。

[解1] 应用和求解。

对前段： ……(1) ……(3)

对后段： ……(2) …….(4)

=

由（1）（2）两式得： ………(5)

由（3）（4）两式得： ……..(6)

由（5）（6）不难求出：

从而可得

[解2] 用和求解。

对前段： …….(1) ………(3)

对后段： …….(2) ………(4)

由（1）（2）得： ………..(5)

由（3）（4）得： ………(6)

由（5）（6）消去可解得：

[解3] 使用和

对前段： ……..(1) …….(3)

对后段： …….(2) ……(4)

由（1）（2）得： ……..(5)

由（3）（4）得： ……..(6)

由（5）（6）消去可得：

此外，还有三种解法。即选用运动学公式（2）、（3）或公式（2）、（4），或公式（3）、（4）的三种解法，有兴趣的读者可自

由此题解答可以看出：题目较难时，要用两个公式列出四个式子方能求出答案，由于两段时间、和速度为未知数，用含有时间和速度的平方项的运动公式（2）（3）解答，计算较为复杂，而应用运动学公式（1）和（4），计算较为简便。

三、两段问题比例法 两段问题比例法。可分为简单比例法和综合比例法。

4.简单比例法 在初速度为零的匀速运动中，可以证明

……=1:4:9……

sI :sII:sIII…….…….(

式中表示1秒内、3秒内秒内的位移，I、II、III…….表示第一秒，第二秒、第三秒……第N秒的位移，和N为自然数。显然I。

利用这两个公式解题，为简单比例法。

[例5] 物体在空气中落下做初速度为零的匀加速运动，经3秒钟落地，位移为36米，求第2秒钟位移是多少？

[解1] 注意到I ，=36米

由 =1 : 9

得 =4米

再由sI : sII =1 : 3

得 sII = 12米

[解2] 也可直接由sII ： =3：9

得 sII = 12米

[注意] 此题设条件隐含着物体不是自由落体运动，它的加速度不是重力加速度，事实上由，8米/秒，其原因是空气阻力要计。

2.综合比例法 是指无现成比例公式可用的比例法，在综合比例法中，有的需要比例法和方程法综合应用，有的需要自己推导比例式，有的变数不只一个，有的需要灵活理解。总之要求思维具有综合性和灵活性。

[例6] 物体从静止开始做匀加速运动，第5秒的位移为18米，求物体的加速度。

[分析] 题目表面上只讲了第5秒这一段，但隐含着第1秒、第2秒……各段，因此，此题是一个隐含的多段问题。

[解1] 先用比例法求出第1秒的位移：

由 sI : =1 : 9 sI =2米

再用 I/=4米/秒

[解2] 先用比例法求出第4秒的位移：

7：9 =14米

再用 4米/秒

由解答此题看出：不论哪种解法，都是比例法和方程法的综合应用。

[例7] 物体从静止开始做匀加速运动，连续经过三段相等的位移，总时间为3.0秒，求经过每段位移所用的时间？

[分析] 设三段相等位移都是s，运动时间依次是、和。则秒，若能用比例法，求出三段时间之比，则可求出答案。

[解答] 由 得

所以

而 秒

解出： 秒=秒

秒

秒

解答此题的特点是自己推出时间跟位移关系的比例法公式，然后列式解出答案。

[例8] 一汽车做匀加速直线运动时，初速度为8.0千米/时，经4.0米后，速度变为10千米/时，再运动2.0米，速度是多少？

[分析] 这是两段问题，选用列出下列两式：

对前段： ……（1）

对后段： ……（2）

若用方程法，可先由（1）式求出加速度再将的值代入（2）式，可解出，但是用这种方法解此题，需统一单位，计算量较大。

若将公式写成：，且认为末速度的平方差跟位移成正比，解出答案的过程将变简。

[解答]

千米/时

可见，应用比例法解答比题，计算过程中只需同一物理的单位相同，解答的确较简单。

四、两段问题函数图象法 解答这类问题要特别注意数学函数知识、图象的物理意义和特殊值的物理意义三者有机地结合起来。

在匀速直线运动中，有位移──时间图象和速度──时间图象。

1.位移──时间图象：参看图1─5，由图知：运动性质：OA表示正方向的匀速运动，AB表示静止，BC表示反方向匀速运动。 图1─5运动速度：图象的斜率表示速度。

图1─5

2 .速度──时间图象：参看图1─6，由图知：运动性质：OA表示匀加速直线运动，AB表示 匀速运动，BC表示匀减速直线运动。 图1─6加速度：由图象的斜率表示。

图1─6

位移：用“面积”表示。例如在时间内物体的位移用的面积表示（图中阴影部分面积）。

在分析解答这类题目时，应先分析清楚物体运动的性质后，再解答题目提出的问题，否则容易做错。

[例9] 质点作直线运动的图象如图1-7示，求1 OA、OB两段的加速度；2 4秒钟质点的位移和路程。

图1-7

[答案] 两段加速度都是零，4秒钟质点的位移是零，路程是6米。

[例10] （学生完成）质点作直线运动的图象如图1-8示，由图可求出：

OA段的加速度是 AB段的加速度是_________，第2秒的移是________。

图1-8

[例11] 一个物体做直线运动时，其图象如图1-9示，求OA段物体做什么运动？ 它的加速度如何变化？AB段做什么运动？

图1-9

答：OA段做变加速直线运动，它的加速度逐渐变小，直至为零。AB段做匀速运动。

[例12] 物体做直线运动的图象如图1 10示，由图知它运动的初速度是_______ ，OA段速度逐渐变_____ ，AB段运动是__________ 。

图1-10

[例13] （学生完成）一物体做直线运动时，它的位移──时间图象如图1 11示。则物体是在：

A.来回振动

B.一直向前运动

C.匀速运动

D.变速运动

图1-11

[例14] （学生完成）一个质点做直线运动时，其速度时间图象如图1-12示。则它的运动是：

A.来回振动

B .一直向前运动

C.匀加速运动

D.先匀加速运动，后做匀减速运动，再做匀加速运动后又匀减速运动……

图1-12

[例15] 一个物体以初速度米/秒开始做匀减速直线运动，加速度大小为5.0米/秒。到末速度为零时，又以相同的加速度沿初速度的反方向做匀加速直线运动直至回到起点，求它的最大位移？

[分析] 此题为两段加速度相同的双向匀变速直线运动问题，要求位移的极大值，可以用以下两种方法解答。

[解1 ] 物理分析法：由题意知：物体到达末速度为零时，物体位移最大。

选择公式：

可得最大位移：米

[解2] 函数分析法：

先用公式：=

应用二次函数知识知：当秒=4秒时，有极大值。设极大值为，则

米=40米

由此题解答过程可知：应用函数法求极值常有两种方法。这两种方法的思路相同的地方是先解决什么条件下有极值，然后求出极值是多大。不同的是物理分析法是分析物理过程中什么物理条件下有极值，而函数分析法是在用物理公式建立数学函数的基础上，用数学知识分析什么条件下有极值。某些题目用物理方法分析有极值的条件较困难，就可应用数学分析法求解。