万有引力专题

万有引力定律揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律和行星运动的本质原因，并且把地上的运动和天上的运动统一起来。万有引力定律的具体应用有：发现新的天体，测天体质量，计算天体密度，研究天体的运动规律等，同时也是现代空间技术的理论基础。这一部分内容公式变化多，各种关系复杂，是高考的热点，也是学习的难点。在复习过程中，要深刻理解万有引力定律的内容和应用，重点是要弄清以下几个问题。

（一）不同公式和问题中的含义不同

万有引力定律公式中的指的是两个质点间的距离，在实际问题当中，只有当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，定律才适用，此时指的是这两个物体间的距离；定律也可适用于两个质量分布均匀的球体之间，此时指的是这两个球心的距离。而向心力公式中的，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径，开普勒第三定律中的指的是椭圆轨道的半长轴。可见，同一个在不同公式中所具有的含义迥异。

[例1] 如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为和，相距为，万有引力常量为G，求：

（1）双星转动的中心位置；

（2）转动周期。

图1

解析：

（1）设双星转动的中心位置O距离为，与两恒星中心的距离不同

解得

（2）在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星，由

得转动周期为

[例2] 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图2所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为）

图2

解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单，即所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的行星其轨道的半长轴应该是圆半径，所以，当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为。

（二）自转周期和公转周期的区别

自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕某一中心做圆周运动一周的时间。这两个周期一般情况下并不相等，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天。但也有特殊情况，如月球的自转周期等于公转周期，所以它总是以相同的一面朝向地球。

[例3] 已知光从太阳射到地球需时间，地球同步卫星的高度为，地球的公转周期为T，自转周期为。地球半径为R。试推导太阳和地球的质量的表达式。

解析：设太阳质量为M₁，地球质量为M­₂，地球同步卫星质量为，则

地球绕太阳做圆周运动，设轨道半径为，则

，而（为光速）

所以

地球同步卫星绕地球做圆周运动，则

所以

（三）同步卫星和一般卫星的区别

任何一颗地球卫星的轨道平面都必须通过地心，由万有引力提供向心力，其高度、速度、周期一一对应。

地球同步卫星相对于地面静止，和地球自转具有相同的周期，为24小时。它只能位于赤道上方处，线速度为。

一般卫星的轨道是任意的，周期、线速度可以比同步卫星的大，也可比同步卫星的小，线速度最大值为，最小周期大约84min（近地卫星）。

[例4] 同步卫星离地心距离为，运行速度为，加速度为，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球半径为R，则（　　）　　

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析：同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据知；第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行时的速度，即近地卫星的速度，近地卫星和同步卫星都满足，所以。本题答案为A、D。

本例涉及三个物体：同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体。同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期；近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星的运动半径；三者的线速度各不相同。

（四）稳定运行和变轨运动的区别

卫星绕天体稳定运行时，由万有引力提供向心力，得，由此可知，轨道半径越大，卫星的速度越小。

当卫星由于某种原因使速度突然改变时，，运行轨道发生变化。若突然变大，，卫星做离心运动；若突然变小，，卫星做近心运动。

注意不能通过判断卫星如何变轨，因为变轨过程中卫星的速度改变，但是待卫星再次达到稳定状态时，仍有成立。

[例5] 如图3，、、是三颗在圆轨道上运行的卫星，则（　　）

A. 、的线速度大小相等，且大于的线速度

B. 、的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度

C. 加速可追上同一轨道上的，减速可等侯同一轨道上的

D. 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，则其线速度将变大

图3

解析：、在同一轨道上运行，线速度大小、加速度大小均相等，又、轨道半径大于轨道半径，由知，，故A错。

由加速度知，，故B错。

当加速时，它受到的万有引力，它将偏离原轨道，做离心运动；当减速时，它受到的万有引力为，它将偏离原轨道，做近心运动。所以C错。

卫星的轨道半径缓慢减小时，在较短时间内，可认为做稳定运动，由知，逐渐减小时逐渐增大，故D正确。

（五）赤道上的物体和近地卫星的区别

赤道上的物体在地球自转时受到两个力作用：地球对它的万有引力和支持力。这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力，即，这里

此时物体的向心加速度，远远小于地面上的重力加速度，在近似计算中可忽略自转的影响，认为地面上物体的重力等于万有引力。

绕天体运行的卫星只受万有引力作用，处于完全失重状态，故。卫星的向心加速度等于卫星所在处的重力加速度。对近地卫星，有。

[例6] 地球赤道上的重力加速度为，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（　　）

A. 倍　　B. 倍　　C. 倍　　D. 倍

解析：赤道上的物体随地球自转时，有

，其中

要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则

，于是

所以，选项B正确。

（六）卫星运行中受力和轨道问题

人造卫星在绕地球运行时，只考虑地球对卫星的万有引力，不考虑其他天体（如太阳、火星等）对它的万有引力。

人造卫星绕地球运行时的轨道圆心必须与地心重合，而且卫星在轨道上做圆周运动时地球对卫星的万有引力刚好等于卫星的向心力。

[例7] 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（　　）

A. 与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆

B. 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的

D. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的

解析：人造地球卫星做圆周运动的向心力是由地球对卫星的万有引力来提供，这个引力的方向是指向地心的，所以卫星运动的圆周的圆心一定要在地心上，因此其圆轨道与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆是不可能的，故A选项错误，D选项正确；由于地球表面的经度是随着地球的自转而运动的，而卫星的运动轨道是固定的，所以B选项也是错误的；C选项描述的是地球同步卫星，轨道半径是确定值，相对地球是静止的，故本题正确的答案是CD。

点评：在天体运行中，无论是近地卫星还是同步卫星，做圆周运动的向心力都是由地球对它的万有引力来提供的，这一点必须明确。

（七）卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系

1. 由，得

　　故越大，越小；

2. 由，得

　　故越大，越小；

3. 由，得

故越大，T越大。

[例8] 火星有两颗卫星，分别为火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星（　　）

A. 火卫一距火星表面较近

B. 火卫二的角速度较大

C. 火卫一的运动速度较大

D. 火卫二的向心加速度较大

解析：由万有引力提供向心力得，，，。可见越大，越小，越小，T越大，即转得越慢，因火卫二相对转得较慢，周期大，故线速度小、角速度小、向心加速度小，所以选A和C。

点评：本题关键是从万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力入手，明确、、、T与轨道半径的关系，再由周期大小，判断该题的正确答案。

（八）人造卫星中的环绕速度和发射速度的问题

由，得近地人造卫星的环绕速度。通常称为第一宇宙速度，也是人造卫星的最小发射速度。

由，得不同高度处的人造卫星的环绕速度，其大小随半径的增大而减小。但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大。

（九）人造卫星的变轨问题

卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由，得，由此可知，轨道半径越大，卫星的线速度越小，当卫星由于某种原因速度发生改变时，受到的万有引力和需要的向心力不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当时，卫星做近心运动，其轨道半径减小，由于万有引力做功，因而速度越来越大。反之，当时，卫星做离心运动，其轨道半径增加，速度越来越小。

[例9] 在半径为的轨道上做匀速圆周运动的卫星，它所具有的机械能为E，动能为，由于一种原因使它的速度突然增大，则当它重新稳定下来做匀速圆周运动时，有（　　）

A. 增大，E增大，增大

B. 增大，E增大，减小

C. 减小，E增大，减小

D. 减小，E减小，增大

解析：增大时，说明外界对其做正功，故它的机械能E增大，卫星将表现离心现象，轨道半径将增大，万有引力做负功，动能减小，势能增大，故应选B。

点评：卫星的运动分为稳定和不稳定运行，当其所受的万有引力不刚好提供向心力时，其速度和半径就要发生变化，引力要做功，这为不稳定运行；而当所受的引力刚好提供向心力时，它运行的速度、轨道半径确定不变而做匀速圆周运动，这种状态称为稳定运行。对于稳定运行，应从入手，应用匀速圆周运动知识分析；对于不稳定运行的卫星问题（变轨问题）应从做功、能量转化的角度去分析处理。

（十）同步卫星问题

相对地面静止的卫星为地球同步卫星，又称通讯卫星。同步卫星的周期为地球自转的周期，即小时，其轨道一定在赤道平面内，高度一定，

。所以同步卫星都位于同一轨道的不同位置上。

[例11] 用表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，表示它离地面的高度，表示地球的半径，表示地球表面处的重力加速度，表示地球自转角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为（　　）

A. 等于零 　　　　　　　　　　　　 B. 等于

C. 等于　　　　 D. 以上结果都不对

解析：通讯卫星所受万有引力的大小为

地球表面物体的重力可以认为等于万有引力，即，故

由上两式解得。显然B是正确的。

由，即

可得，

即C也正确。故本题正确的答案是BC。

点评：利用万有引力提供向心力和地球表面物体的重力约等于万有引力这两个基本思路，是解决天体问题的关键。

（十一）卫星中的超重和失重问题

当卫星进入轨道前加速的过程中，卫星上的物体（包括卫星本身）处于超重状态，此情景与“升降机”中物体的超重相同。当卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体处于完全“失重”状态（因为重力刚好提供向心力），因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用。

[例12] 某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度（为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N，忽略地球自转的影响，已知地球半径R，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时，重力为160N ①

根据万有引力定律，在地面附近有

 ②

在距地面某一高度时，由牛顿定律得

 ③

根据万有引力定律，得

 ④

由①②③④式并代入数据解得。

点评：人造卫星在轨道上运行时，处于完全失重状态；人造卫星发射、回收时，加速度均向上，处于超重状态。

【模拟试题】

1. 16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个基本论点，这四个论点目前看不存在缺陷的是（　　）

A. 宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动

B. 地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动

C. 天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象

D. 与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多

2. 下列关于万有引力的说法，正确的有（　　）

A. 物体落在地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力

B. 万有引力定律是牛顿看到苹果落地而想到的

C. 地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球的万有引力

D. 中的G是一个比例常数，是没有单位的

3. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可当作均匀球体，月球仍旧沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ 　 ）

A. 地球与月球间的万有引力将不变

B. 地球与月球间的万有引力将变大

C. 月球绕地球运动的周期将变大

D. 月球绕地球运动的周期将变短

4. 设行星绕恒星运动轨道为圆形，则由开普勒第三定律可知它运动的周期平方与轨道半径的三次方之比为常数，此常数的大小（　　）

A. 只与恒星质量有关

B. 与恒星质量和行星质量均有关

C. 只与行星质量有关

D. 与恒星质量和行星质量均无关

5. 假如一个做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（　　）

A. 根据公式，可知卫星的线速度增大到原来的2倍

B. 根据公式，可知卫星所需的向心力减小到原来的

C. 根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的

D. 根据上述B和A给出的公式，可知卫星的线速度将减小到原来的

6. 如图1所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂，在某一时刻两行星第一次相遇（即两颗行星相距最近），则经过时间　　　时两行星第二次相遇，经过时间　　　　时两行星第一次相距最远。

图1

7. 当两个物体不能视作质点时，两物体之间的万有引力不能用公式直接计算，但可以用下述方法计算：将两个物体各分成很多质点，一个物体的每个质点与另外一个物体的每个质点之间都存在万有引力，这些质点之间的万有引力可用公式计算，所有质点间万有引力的合力就是这两个物体间的万有引力，现设想把一个质量为的小球（可看作质点）放到地球的中心，则此小球与地球之间的万有引力为　　　　（已知地球质量M，半径为R）。

8. 宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时，完成了下面两个实验：① 当飞船停留在距该星球一定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经时间后收到反射回来的信号，此时该星球直径与观察者的眼睛所对的角度为（如图2所示）。② 当飞船在该星球着陆后，科研人员在距星球表面高处以初速度水平抛出一小球，测出落地点到抛出点的水平距离为。

又已知万有引力常量为G，光速为，星球的自转以及大气对物体的阻力均可不计。试根据以上信息，求：

（1）星球的半径；

（2）星球的质量M；

（3）星球的第一宇宙速度。

图2

【试题答案】

1. D　　2. C　　3. D　　4. A　　5. D

6. ，

7. 0（提示：根据力的对称法可知，地球中任意关于地心对称的两部分对小球的万有引力恰好为一对平衡力。）

8.（1）　（2）　（3）