动量和能量综合试题例析

湖州二中　 陈新华

导言　

处理力学问题的基本思路有三种:一是牛顿定律,二是动量关系,三是能量关系.若考查有关物理量的瞬时对应关系,须应用牛顿定律,若考查一个过程,三种方法都有可能,但方法不同处理问题的难易、繁简程度可能有很大区别.若研究对象为一个系统应优先考虑两大守恒定律, 若研究对象为单一物体,可优先考虑两个定理,特别涉及时间问题时应优先考虑动量定理, 特别涉及力和位移问题时应优先考虑动能定理,而涉及摩擦生热是要联系能量守恒定律,有时对问题的过程不予细究,这正是它们的方便之处.

物理学家在研究打击和碰撞这类问题时引入了动量的概念。研究与动量有关的规律确立了动量守恒定律，应用有关动量的知识，系统在相互作用过程中，同时也会伴随着不同形式的能量的相互转化。动量守恒和能量相结合的综合计算题，要求较高，值得注意。　如果一个系统所受外力的矢量和为零，则该系统为动量守恒系统。而系统内部的物体由于彼此间的相互作用，动量会有显著的变化，这里涉及到一个内力做功和系统内物体动能变化的问题，即动量守恒系统的功能问题。我们常把动量守恒系统中物体间的相互作用过程仍视为“碰撞” 问题来处理，亦即广义的碰撞问题。如弹性碰撞可以涉及到动能和弹性势能的相互转化；非弹性碰撞可以涉及到动能和内能的相互转化，等等。那么，通过动量守恒和能量关系，就可以顺利达到解题目的。这一节课我们就来学习这方面的知识。

例1、　　  如图，两滑块Ａ、Ｂ的质量分别为m₁和m₂，

置于光滑的水平面上，Ａ、Ｂ间用一劲度系数

为K的弹簧相连。开始时两滑块静止，弹簧为

原长。一质量为ｍ的子弹以速度Ｖ₀沿弹簧长度方向射入滑块Ａ并留在其中。试求：（１）弹簧的最大压缩长度；(已知弹性势能公式E_P=(1/2)KX²，其中K为劲度系数、X为弹簧的形变量) ；（２）滑块Ｂ相对于地面的最大速度和最小速度。

【解】（１）由于子弹射入滑块Ａ的过程极短，可以认为弹簧的长度尚未发生变化，滑块Ａ不受弹力作用。取子弹和滑块Ａ为系统，因子弹射入的过程为完全非弹性碰撞，子弹射入Ａ前后物体系统动量守恒，设子弹射入后Ａ的速度为Ｖ_１，有：

　　ｍＶ₀＝（ｍ＋ｍ_１）Ｖ₁　（1）

　　得： (1) 取子弹、两滑块Ａ、Ｂ和弹簧为物体系统，在子弹进入Ａ后的运动过程中，系统动量守恒，注意这里有弹力做功，系统的部分动能将转化为弹性势能，设弹簧的最大压缩长度为ｘ，此时两滑块具有的相同速度为Ｖ，依前文中提到的解题策略有：

　　（ｍ＋ｍ_１）Ｖ_１＝（ｍ＋ｍ₁＋m ₂)V　　(2)

　　　　　(3)

　　由(1)、(2)、(3)式解得：

　　　　（２）子弹射入滑块Ａ后，整个系统向右作整体运动，另外须注意到Ａ、Ｂ之间还有相对振动，Ｂ相对于地面的速度应是这两种运动速度的叠加，当弹性势能为零时，滑块Ｂ相对地面有极值速度。若Ｂ向左振动，与向右的整体速度叠加后有最小速度；若Ｂ向右振动，与向右的整体速度叠加后有最大速度。设极值速度为Ｖ3，对应的Ａ的速度为Ｖ2，依前文提到的解题策略有：

　　ｍＶ₀=（m＋m₁）V₂ ＋m₂V₃　　　　　　　  (4)

　　　　　(5)

　　由（１）、（４）、（５）式得：

　　Ｖ₃[（m＋m₁＋m₂）V₃ －2mV₀]=0

　　解得：V₃=0 （最小速度）　　　　　　　　　　　　　　　 （最大速度）

　　说明：一、本题中的所有速度都是相对地面这一参照物而言的。

　　　　　二、(1/2)mv₀²与(1/2)(m+m₁)V₁²、它们的差值即系统增加的内能。

　　　　　三、由前文解题策略易得系统增加的内能为:

例２、如图，光滑水平面上有Ａ、Ｂ两辆小车，Ｃ球用０.５m长的细线悬挂在Ａ车的支架上，已知_mA=m_B=1kg，m_C=0.5kg。开始时B车静止，Ａ车以Ｖ₀ ＝４m/s的速度驶向Ｂ车并与其正碰后粘在一起。若碰撞时间极短且不计空气阻力，g取10m/s² ，求C球摆起的最大高度。

【解】由于A、B碰撞过程极短，C球尚未开始摆动，

故对该过程依前文解题策略有：

　　m_AV₀=(m_A+m_B)V₁　　　　　　　　 (1)

　　E_内=　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　对A、B、C组成的系统，图示状态为初始状态，C球摆起有最大高度时，A、B、C有共同速度，该状态为终了状态，这个过程同样依解题策略处理有：

　　（m_A+m_C）V₀=(m_A+m_B+m_C)V₂　　　(3)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (4)

由上述方程分别所求出Ａ、Ｂ刚粘合在一起的速度Ｖ₁＝２m／s，Ｅ_内＝４J，系统最后的共同速度Ｖ₂＝２.４m／s，最后求得小球Ｃ摆起的最大高度h=0.16m。

例3、质量为m的木块在质量为M的长木板中央，木块与长木板间的动摩擦因数为，木块和长木板一起放在光滑水平面上，并以速度v向右运动。为了使长木板能停在水平面上，可以在木块上作用一时间极短的冲量。试求：

（1）要使木块和长木板都停下来，作用在木块上水平冲量的大小和方向如何？

（2）木块受到冲量后，瞬间获得的速度为多大？方向如何？

（3）长木板的长度要满足什么条件才行？

【解】（1）水平冲量的大小为：（1分）

　　水平冲量的方向向左（1分）

　　（2）以木块为研究对象：取向左为正方向，则：

　　（2分）　　　（2分）

　　（3）根据能的转化与守恒定律得：

　　（2分）　　（2分）

　  即木板的长度要满足：

综上所述，解决动量守恒系统的功能问题，其解题的策略应为：

　　一、分析系统受力条件，建立系统的动量守恒定律方程。

二、根据系统内的能量变化的特点建立系统的能量方程

三、建立该策略的指导思想即借助于系统的动能变化来表现内力做功。

　这类问题十分广泛，不只在力学中多见，在电学、原子物理学中亦会碰到。在动量守恒系统的功能关系中，相互作用的内力可能是恒力，但多数情况下内力为变力，有时其变化规律可能较复杂，所以我们可以由系统动能的变化这个结果来了解内力做功的影响。相互作用的内力不仅可以变化复杂，力的性质也可以多种多样，诸如弹簧的弹力、滑动摩擦力、分子力、电场力、磁力等等，与其相对应的能量则如弹性势能、内能、分子势能、电势能、磁场能（闭合回路中的电能）等等。因此，若我们能仔细分析系统中相互作用的内力的性质，也就可能在题设条件内建立起系统的动能和某种性质的内力相对应的能之间相互转化的能量关系。下面我们一起来解决以下几个相关习题。

1、如图，在光滑绝缘的长直轨道上有A、B两个带同种电荷小球,其质量分别为m₁、m₂。小球A以水平速度V₀沿轨道向右冲向静止的B球，求最后两球最近时(A、B两球不相碰)系统电势能的变化。

2、如图所示，光滑的水平面上有质量为M的滑板，其中AB部分为光滑的1/4圆周，半径为r，BC水平但不光滑，长为。一可视为质点的质量为m的物块，从A点由静止释放，最后滑到C点静止，求物块与BC的动摩擦因数。

3、如图所示, 在高为h的光滑平台上放一个质量为m₂的小球, 另一个质量为 m₁的球沿光滑弧形轨道从距平台高为h处由静止开始下滑, 滑至平台上与球m₂发生正碰, 若m₁＝ m₂, 求小球m₂最终落点距平台边缘水平距离的取值范围.

4、如图所示，A、B是位于水平桌面上的两质量相等的木块，离墙壁的距离分别为L₁和L₂，与桌面之间的滑动摩擦系数分别为μ_A和μ_B，今给A以某一初速度，使之从桌面的右端向左运动，假定A、B之间，B与墙间的碰撞时间都很短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的初速度最大不能超过______。

5、如图在光滑的水平台上静止着一块长50cm，质量为1kg的木板，板的左端静止着一块质量为1千克的小铜块(可视为质点)，一颗质量为10g的子弹以200m/s的速度射向铜块，碰后以100m/s速度弹回。问铜块和木板间的摩擦系数至少是多少时铜块才不会从板的右端滑落。(g取10m/s² )

6、有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计), 质量分别为M和m, 半径分别为R和r, 两板之间用一根长为0.4m的轻绳相连接. 开始时, 两板水平放置并叠合在一起, 在其正下方0.2m处有一固定支架C, 支架上有一半径为R ^/( r< R^/<R)的圆孔, 圆孔与两薄板的中心均在同一竖直线上, 如图所示, 让两个圆形薄板自由落下, 落到固定支架上, 大板与支架发生没有机械能损失的碰撞, 碰撞后两板即分离, 直到轻绳绷紧, 在轻绳绷紧瞬间, 两薄板具有共同速度V_F ,　问：

(1) 若M＝m, 则V_F多大?

(2) 若M/m＝k, 试讨论V_F的方向与k的关系. (g取10m/s²)

7、如图所示，小球A从半径为R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道的上端点以v₀=3m/s的初速度开始滑下，到达光滑水平面上以后，与静止于该水平面上的钢块B发生碰撞，碰撞后小球A被反向弹回，沿原路进入轨道运动恰能上升到它下滑时的出发点（此时速度为零）。设A、B碰撞机械能不损失，求A和B的质量之比是多少？

8、如图，有光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，其质量为M。一质量为m的小球以水平速度V₀沿轨道的水平部分冲上小车，求小球沿圆弧形轨道上升到最大高度的过程中圆弧形轨道对小球的弹力所做的功。

9、如图6—5—5所示，一质量为M，长为L的长方形木

板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为

m的小木块m＜M。现以地面为参照系，给A和B

以大小相等方向相反的初速度(如图)，使A开始向

左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离

B板。以地面为参照系，则求解下例两问：　　　　　　　　　　 

　 (1)若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度的大小和方向。

　 (2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。

10、（1995年全国高考）如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1,2,3……）.每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14 kg，x＜0一侧的每个沙袋质量为m′=10 kg.一质量为M=48 kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）.问:（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？

动量和能量综合试题例析(参考答案)

1、 m₁m₂V₀²/2(m₁+m₂)　　　　　　　 2、　r/L　　　　  3、　（h<s<2h）　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  5、0.45

6、 (1) 1m/s, 方向向下;  (2) k>3, V_F方向向上; k＝3,V_F＝0; k<3, V_F方向向下。

7、　 1 : 9　　　　　　　　　　  8、　

9、(1)　v =　　　 v₀，方向向右 ;  (2) L₁=　　　　L

10、(1)　 3　 ，　 (2)　　11

我不知道世人怎么看我，不过我自己只觉得好像是一

个孩子在海滨玩耍的时候，偶尔拾到几只光亮的贝壳，

但是对于真正的知识海洋，我还没有发现呢。
　　　 　　　　　　　　　　 ——牛顿----