第七章 机械能——功和功率

一、选择题

1、如图1所示，用力拉一质量为m的物体，使它沿水平匀速移动距离s，若物体和地面间的摩擦因数为μ，则此力对物体做的功为（　）

A．μmgs

B．μmgs/（cosα+μsinα）

C．μmgs/（cosα-μsinα）

D．μmgscosα/（cosα+μsinα）

2、如图2所示，质量为m的物块始终固定在倾角为θ的斜面上，下列说法中正确的是（　）

A．若斜面向右匀速移动距离s，斜面对物块没有做功

B．若斜面向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgs

C．若斜面向左以加速度a移动距离s，斜面对物块做功mas

D．若斜面向下以加速度a移动距离s，斜面对物块做功m（g+a）s

3、从空中以40 m/s的初速平抛一个重力为10 N的物体，物体在空中运动3 s落地，不计空气阻力，取g＝10 m/s²，则物体落地时重力的即时功率为(　)

A．400 W　　　　　B．300 W　　　　　　C．500 W　　　　　　D．700 W

　　4、如图3所示，质量为m的物体P放在光滑的倾角为θ的直角劈上，同时用力F向右推劈，使P与劈保持相对静止，在前进的水平位移为s的过程中，劈对P做的功为(　)

图3

　　　A．F·s　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．mgsinθ·s/2

　　　C．mgcosθ·s　　　　　　　　　　　　　 D．mgtanθ·s

5、质量为m的汽车发动机的功率恒为P，摩擦阻力恒为f，牵引力为F．汽车由静止开始，经过时间t行驶了位移s时，速度达到最大值v_m，则发动机所做的功为(　)

　　　A．Pt　　 　B．fv_mt　　 　C．＋fs　 D．　　　E．Fs

二、填空题

6、如图4所示，木板质量为M，长为L，放在光滑水平面上，一细绳通过定滑轮将木板与质量为m的小木块相连，M与m之间的动摩擦因数为，现用水平向右的力F将小木块从木板的最左端拉到最右端，拉力至少要做的功是______．

图4

7、如图5所示，人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为s，细线与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，人的拉力所做的功______．

8、用水平拉力拉着滑块沿半径为r的水平圆轨道匀速运动一周，已知滑块的质量为m，滑块与轨道间的动摩擦因数为μ。此过程中拉力所做的功______．=2πμmgr。

三、计算题

9、在一段平直公路上，一辆质量m=10t的卡车速度从均匀增加到，经过的时间t=50s，如果车在运动时受到的阻力为车重力的k倍，k=0.05，求：

（1）发动机的平均功率。

（2）在这段路程的时间中点和位移中点发动机的瞬时功率。（）

10、如图6所示，在倾角为θ的斜面上有一质量为m的物体，一直与斜面保持相对静止．求：

（1）　　　 若物体随斜面水平匀速移动了位s，则斜面对物体做了多少功？

（2）若物体随斜面以加速度a移动了位移s，则斜面对物体做了多少功？

11、将一质量为m＝10 kg的物体，自水平地面由静止开始用一竖直向上的拉力F将其以a＝0.5 m/s²的加速度向上拉起．求：

（1）　　　 在向上拉动的10s内，拉力F做功的功率；

（2）上拉至10 s末，拉力的功率．

12.在光滑的水平面上放着物体A和小车B,如图7所示,小车长L=2m,M=4kg,A的质量m=1kg,μAB=0.2,加在小车上的力(1)F=5N,(2)F=12N,求在这两种情况下,在2s时间内F对车做功是多少?摩擦力对A做功多少?（g取10m/s2）

参考答案

1．分析：设水平面对物体的支持力的大小为N，则由物体匀速运动得

，

∴F=μmg/(cosα+μsinα)

∴力F对物体做的功为

W=Fscosα=μmgscosα/（cosα+μsinα）

所以选择D

2．分析 斜面对物块有没有做功，应是指斜面对物块的总作用力（斜面对物块的弹力与摩擦力合力）是否做功。当斜面匀速运动时，斜面对物块的总作用力大小等于mg，方向是竖直向上。若斜面向右匀速运动，斜面对物块的总作用力的方向与物块位移的方向垂直，因此斜面对物块没有做功，∴A对。若斜面向上匀速运动，斜面对物体的总作用力方向与物块位移s方向相同，∴斜面对物块做的功为mgs，∴B对。若斜面向左以加速度a移动距离s时，斜面对物块的总作用力在水平方向上的分力必为ma（重力在水平方面上分力为零），因此斜面对物块做功为mas，∴C也对。当斜面向下以加速度a移动距离s时，斜面对物块的总作用力可由牛顿第二定律求得mg-F=ma

∴F=m（g-a）

于是斜面对物块做功应为m（g-a）s，∴D错。

所以选择A、B、C

3．分析：根据平抛运动的规律可以算出物体落地时的即时速度为50 m/s，因而很容易错选C，这是由于疏忽了物体落地时，其速度方向与重力方向之间有夹角而造成的，由于重力的功率只与物体在竖直方向的速度有关，而v_y＝gt＝30 m/s，因此落地时重力的即时功率为P＝mgvcosθ＝mgv_y＝300 W，正确答案应选B．

　　答案：B

4．分析：物体P只受重力和支持力作用，它们的合力沿水平方向，如图所示，且F_N＝，斜劈对P做功W＝F_Nscos(90°-θ)＝mgtanθ·s．

　　答案：D

　

5．分析：因为汽车发动机的功率恒定，所以汽车在启动过程中所受的牵引力为变力，且在汽车启动的初级阶段有F＞f，汽车做变加速运动．随着汽车速度的增大，据P＝Fv可知，汽车的牵引力将逐渐减小，加速度也随之减小，但仍做加速运动．当牵引力F＝f时，汽车的加速度为0，此时汽车达到最大速度，之后汽车将做匀速运动．

　　本题中因汽车的功率不变，故发动机所做的功可用其与功率的关系来求解：

　　即　W＝Pt，所以选项A正确．

　　同理，由于当汽车达到最大速度时F＝f，又因f为恒力，所以W＝Pt＝Fv_mt＝fv_mt，故选项Ｂ也正确．

　　尽管汽车的牵引力为变力，但汽车在行驶过程中所受的阻力f为恒力，其所做的功可用功的定义式W＝Fscosθ来求出．根据功能关系可知，发动机所做的功一部分用来克服摩擦阻力做功，一部分用来增加汽车的动能，所以据动能定理有：W－fs＝mv_m²－0，由此可解得：W＝mv_m²＋fs，所以选项C正确．

由P＝fv_m可知，v_m＝P/f，f＝P/v_m，将此v_m和f同时代入选项C中，可得

，故选项Ｄ也正确．

　　对于选项E，由前面的分析可知其是将汽车的牵引力做为恒力代入功的定义式进行计算的，所以是不正确的．

说明：由上述两个例题中对功的计算可看出，计算功的思路通常有三条思路，即：①功的定义式W＝Fscosθ，此方法只适用于求恒力所做的功；②利用功能关系，根据动能定理求功，此法对于恒力和变力均适用；③利用功和功率的关系W＝P/t，这种方法一般只适用于求发动机所做的功．

6．分析：匀速运动时拉力做功最小F＝2μmg．把木块拉至木板最右端过程中，F前进的位移是L，故拉力至少要做的功为W＝F·s＝2μmg·L＝μmgL．

　　答案：μmgL

7．分析　人的拉力的功等于细绳对物体拉力的功。在物体匀速上升的过程中，细线对物体的拉力

　　　　　　　　　　　　　　　　 F_T= mg，

物体上升的高度　　　　　  h=，

从而细线对物体拉力的功　　　。

所以，人的拉力所做的功为。

8．分析　滑块沿水平圆轨道匀速运动，故拉力的大小

 F=F_f =μmg。

把圆轨道分成l₁、l₂、l₃、……l_n很多个小段，每一段小到可以看成直线段，从而拉力在每一小段上的方向可认为不变，则拉力在每一小段上所做的功分别为

　W₁=μmg l₁，W₂=μmg l₂，W₃=μmg l₃，……W_n=μmg l_n。

所以，在滑块沿水平圆轨道匀速运动一周的过程中，拉力所做的功为

W= W₁+ W₂+ W₃+……+ W_n=μmg (l₁+ l₂+ l₃+……+ l_n) =μmg·(2πr)

9．解：（1）卡车的加速度

卡车牵引力为F

F-kmg=ma，则

平均速度

则平均功率

（2）时间中点和位移中点的瞬时速度分别为、

则，

时间中点瞬时功率

位移中点的瞬间功率

10．解：斜面对物体所做的功，即斜面对物体的作用力所做的功．在题述的两种情况下，斜面对物体的作用力分别如图中的甲、乙所示，因为物体的位移方向是水平的，故在两种情况中重力mg均不做功．

（1）因为当物体匀速运动时，其所受合力为0，所以由图7甲可知物体所受斜面的支持力N＝mgcosθ，摩擦力f＝mgsinθ，方向如图所示．所以

　  W_N＝Nscosθ＝mgcosθ·s·cos（90°－θ）

　　　＝mgscosθsinθ．

　　　W_f＝fscosα＝mgsinθ·s·cos（180°－θ）

　　　　＝－mgscosθsinθ．

　　　故斜面对物体所做的功为W_总＝W_N＋W_f＝0．

（2）当物体以加速度a移动时，因a沿水平向右，所以合力F＝ma、方向必水平向右，其受力情况如图乙所示．由图可知：Nsinθ－fcosθ＝ma，　　Ncosθ＋fsinθ＝mg．

　　由此两方程可解得：N＝mgcosθ＋masinθ，　f＝mgsinθ－macosθ，

　　再由W＝Fscosθ分别求得两力的功：

　　 W_N＝Nscosα＝Nscos（90°－θ）＝mgscosθsinθ＋mas sin²θ．

　　 W_f＝fscosα＝fscos（180°－θ）＝－mgscosθsinθ＋macos²θ．

　　　所以W_总＝W_N＋W_f＝mas．

说明：

本题的上述解法并非是最简捷的方法，因为在物体运动的整个过程中，各个力都一直作用在物体上，因此斜面对物体所做的功，也就等于合力对物体所做的功，故本题也可就（1）、（2）两种情况分析先求出合力，再用合力求出斜面对物体所做的功．另外，由于重力一直不做功，所以支持力和摩擦力对物体所做的功（即斜面对物体所做的功）就是合外力所做的功．还可据动能定理通过物体动能的变化求出斜面对物体所做的功．这两种方法都比例题中给出的方法要简单得多，其中后一种思路最为简捷，读者可自己按上述思路进行求解．

11．解：本题的第（1）问求10 s内拉力的功率，则是指10s内的平均功率，而求平均功率有两条具体的思路：一是；二是＝Fcosθ．因此本题可从这两种方法分别求出平均功率．

　　方法一：据牛顿第二定律可知，F－mg＝ma，解得F＝105 N．又据运动学公式可求出10 s内物体的位移为＝25 m．所以有：  W＝262.5 W．

　　方法二：根据运动学公式可求出物体在10s内的平均速度2.5 m/s，所以平均功率为：＝F＝105×2.5 W＝262.5 W．

　　对于本题的第（2）问求第10 s末的功率，即为10 s末的瞬时功率．求解瞬时功率在中学阶段只有唯一的方法：P＝Fvcosθ，所以此题中10 s末的功率为:　P＝Fvcosθ＝Fatcos0＝105×0.5×10 W＝525 W．

说明：

（1）由上述例题可以看出，在解题时要注意据题意分清所求功率为平均功率还是瞬时功率；（2）求解平均功率的方法较多，常见的有三种：一是利用功率的定义式；二是利用平均速度求解，即＝Fcosθ；三是利用两个状态瞬时功率的平均值法，即．注意：其中第二、三两种方法只适用于物体做匀变速度直线运动的情况．而求解瞬时功率在中学阶段则只有上述唯一的一种方法．

12.解:分别对A和B受力分析,如图:

A和B间最大静摩擦力可近似认为等于滑动摩擦力：

fm=μmg=2N

当二者有共同加速度a时

对m: f=ma　　　 ①

对M：F-f=Ma　　 ②

当F=5N时,得a=1m/s2， f=1N，f小于fm。所以A和B相对静止
 

F对车做功WF=F·s=10J

摩擦力对A做功Wf=f·s=2J

当F=12N时,代入①②得a=2.4m/s2，f=2.4N

　 因为f>fm

所以当F=12N时,A、B出现相对滑动,
　　 
　　 

∴A、B相对运动距离是1m,即A相对B向后打滑1m,

给定车长为2m,所以2s时A仍在车上.

F对车做功　 WF=F·SB=60J

摩擦力对A做功　 Wf=f·S_A=8J