单　元　复　习

［本章知识结构］

［本章要点综述］

1、开普勒行星运动定律

第一定律：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

第二定律：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

第三定律：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。即：　　　　　　

2、万有引力定律

（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。

（2）万有引力定律公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。

3、万有引力定律在天文学上的应用

（1）基本方法：

①把天体的运动看成　　　　 运动，其所需向心力由万有引力提供：　　　　　　　 （写出方程）____________________________

②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：　　　　　　　　　 。（写出方程）

（2）天体质量，密度的估算

测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由　　　　　　　　  （写出方程）得出被环绕天体的质量为　　　　　　　 （写出表达式），密度为　　　　　　　  （写出表达式），R为被环绕天体的半径。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则密度为　　　　　　　　 （写出表达式）。

（3）环绕天体的绕行线速度，角速度、周期与半径的关系。

①由得　　　　　  　　　 ∴r越大，v　　　　

②由得　　　　　　　 　　∴r越大，　　　　　

③由得　　　　　　　　  ∴r越大，T　　　　　　　

（4）三种宇宙速度

①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v₁=7.9km/s，人造卫星在　　  附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。

②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v₂=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在　　附近的最小发射速度。

③第三宇宙速度：v₃=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在　　　附近的最小发射速度。

三、本章专题剖析

1.关于万有引力和重力的关系(如图)：

地面上物体所受万有引力F可以分解为物体所受的重

力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F’。

其中　　

①　　  当物体在赤道上时，F、mg、F’三力同向，此时满足F’＋mg＝F

②　　  当物体在两极点时，F’＝0 ,F=mg=

③　　  当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。

例1  地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×10^{－2 m/s2},赤道上重力加速度g取10m/s²

试问：（1）质量为m kg的物体在赤道上所受的引力为多少？

（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？

解析：（1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有F_引＝mg+F_向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10^-2)=9.804m(N)

（2）设地球自转角速度为ω，半径为R，则有a＝ωR，欲使物体完全失重，即万有引力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即mω’R＝F_引＝9.804m，解以上两式得ω’＝17.1ω.

2.关于天体质量或密度的计算问题

解法一：利用天体表面的重力加速度g，由得M＝gR²／G，只需知道g和天体半径R即可；密度

解法二：利用“卫星”的周期T和半径r，由，

密度(R为天体的半径)，当卫星沿天体表面附近绕天体运动时，r＝R，则。

例2　 已知引力常量G＝6.67×10^－11N·m²/kg²,重力加速度g＝9.8m/s²,地球半径R＝6.4×10⁴m，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字）

解析：在地球表面质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有

 ,得

例3　一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量
A．飞船的轨道半径　　　　　　　　B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期　　　　　　　　D．行星的质量

解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：，

由上式可知：  ，即行星的密度；

上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确。

3.关于人造卫星和宇宙速度问题：

（1）卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，由此推出：卫星的绕行速度、角速度、周期与半径r的关系。

①由得，r越大，v越小。

②由得，r越大，ω越小。

③由得，r越大，T越大。

式中r是卫星运行轨道到地球球心的距离。

（2）要将人造卫星发射到预定的轨道上，就需要给卫星一个发射速度。发射速度随着发射高度的增加而增大。最小的发射速度为，即第一宇宙速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，也是卫星的最大绕行速度。

（3）两类运动——稳定运行和变轨运行。卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由，得，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小，当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F_引和不再相等，因此就不能再根据来确定r的大小。当F_引>时，卫星做近心运动；当F_引<时，卫星做离心运动。

例４　 2003年10月15日，我国成功发射航天飞船“神舟”号，绕地球飞行14圈安全返回地面，这一科技成就预示我国航天技术取得最新突破。据报道飞船质量约为10t，绕地球一周的时间约为90min。已知地球的质量M＝6×10²⁴kg，万有引力常量G＝6.67×10^－11N·m²·kg^-2。设飞船绕地球做匀速圆周运动，由以上提供的信息，解答下列问题：

（1）“神舟”号离地面的高度为多少km?

（2）“神舟”号绕地球飞行的速度是多大？

（3）载人舱在将要着陆之前，由于空气阻力作用有一段匀速下落过程，若空气阻力与速度平方成正比，比例系数为k，载人舱的质量为m，则此匀速下落过程中载人舱的速度多大？

解析：（1）由牛顿第二定律知：

得离地高度

（2）绕行速度

（3）由平衡条件知：kv²=mg，则速度

［基础训练］

１.同步卫星离地心距离为r，运行速率为v₁，加速度为a₁，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a₂,第一宇宙速度为v₂,地球半径为R，则（　　　）

A. a₁/a₂=r/R　　　　　　　　　　　  B. a₁/a₂=R²/r²

C. v₁/v₂=R²/r² D. v₁/v₂

２.若航天飞机在一段时间内保持绕地球地心做匀速圆周运动则（　　　 ）

A.它的速度大小不变

B.它不断地克服地球对它的万有引力做功

C.它的动能不变，重力势能也不变

D.它的速度大小不变，加速度等于零

３．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是（　　）

A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比

B．两颗卫星的线速度一定相等

C．天体A、B的质量可能相等

D．天体A、B的密度一定相等

４．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：

A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。

D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。

５．太阳光从太阳射到地球需8分20秒，地球公转轨道可近似看作圆形，地球半径约6.4×10⁶m，估算太阳质量M与地球质量m之比为__________。

６．两颗人造卫星A、B的质量之比m_A∶m_B=1∶2，轨道半径之比r_A∶r_B=1∶3，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比v_A∶v_B= 　　　 ，向心加速度之比a_A∶a_B=　　　 ，向心力之比F_A∶F_B= 　　　　 。　　

７．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处的日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面重力加速度为g，地球自转周期为T。

８．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g₀，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R₀与卫星的半径R之比R₀/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R₀之比r/R₀＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有 ……

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

单　元　复　　习

题号	1	2	3	4	5
答案	AD	Ｃ	Ｂ	ＢＤ
题号	6			７
答案	；　9：1；　 9：2

详解：

２．分析：航天飞机绕地心做匀速圆周运动，速度大小不变，动能不变，离地心距离不变，重力势能不变，引力不做功。

４．解：由得，

而，

轨道3的半径比1的大，故A错B对，“相切”隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两轨道瞬时运行半径相同，又，故C错D对。

５．分析：太阳到地球距离：

r=ct=3×10⁸×500m=1.5×10¹¹m

设地球绕太阳做圆周运动，则由牛顿定律：

所以

地球上物体随地球运动时：

所以，

所以：

７．解析：设侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T₁,

有,　　　　　　  ①

地面处重力加速度为g，则有。 ②

由①②得。

地球自转周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为.

摄像机能拍摄赤道圆周的弧长为　　　

８．解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是

卫星表面＝g  行星表面=g₀　 即=

即g =0.16g₀。