第七章 万有引力与航天
参考例题
第一节 行星的运动
例1 关于开普勒行星运动的公式
，以下理解正确的是（ ）
A．所有行星的轨道都是圆，R是圆的半径
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则：
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
例2 假设行星绕太阳的轨道是圆形，火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53％，试确定火星上一年是多少地球年。
第二节 太阳与行星间的引力
例1、地球的质量约为月球的质量的81倍，一飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离与距月心距离之比为 。
第三节 万有引力定律
例1 对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式
，下列说法正确的是（ ）
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的而不是人为规定的
B．当两物体的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．相互作用的两个物体，质量大的受到的引力大，质量小的受到的引力小
C．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
例2 如图1-3-1所示，两球的半径分别是r1和r2，均小于r，而球质量分布均匀,大小分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3 如图1-3-3所示，在半径R＝20cm、质量M＝168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为
，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m＝1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d＝2m，试求它们之间的相互吸引力．
（选用）例4 某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90％，已知万有引力恒量G＝6.67×10－11N·m2／kg2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?
例5 一物体在地球表面的重力为16N，它在以5m/s2加速上升的火箭中视重为9N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的 倍。（g=10m/s2）
第四节 万有引力理论的成就
例1 地核体积约为地球体积的16%，地球质量约为地球质量的34%，引力常量取G=6.7×10－11Nm2/kg2，地球半径取R=6.4×106m，地球表面重力加速度取g=9.8m/s2，试估算地核的平均密度(结果取2位有效数字)。
例2 在某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量.(引力常量G已知)
例3一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下的时间，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。如图1-4-2所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为ΔF。已知引力常量为G，试根据题中所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M。
第五节 宇宙航行
例1 已知地球与月球质量比为8：1，半径之比为3.8：1，在地球表面上发射卫星，至少需要7.9km/s的速度，求在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多大的速度？
例2试计算出地球赤道平面上空的同步卫星距地面的高度. （已知地球质量g=9.8m/s2，地球半径R=6.37×106m）
例3宇宙飞船以a=
g=5m/s2的加速度匀速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10kg的物体重量为75N，由此可求飞船所处位置距地面高度为多少？(地球半径R=6400km)
第六节 经典力学的局限性
例1、某物体静止时的质量为1Kg,若该物体分别以100m/s和0.9倍光速运动，试按照狭义相对论的观点分别计算出物体在两种情况下的质量，此结果说明了什么？
参考答案：
解答：由开普勒第一定律可知行星的轨道都是椭圆,所以A错；由开普勒第三定律可知比例系数k尽管是一个与环绕星体无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不同。地球绕太阳与月球绕地球的星系不同，故k值不同，所以B错；T表示行星运动的公转周期，不是自转周期，所以C错，D正确。本题正确答案选D。
解答：设地球的周期和轨道半径分别为
、
,火星的周期和轨道半径分别为
、
则根据开普勒定律知：
解得：
所以火星上一年是1.89地球年
解答：由太阳对行星的关系式可得：
所以 
解答：引力常量G值时是由英国物理学家卡文迪许运用巧妙的“扭秤实验”测量出来的，是一个常数，所以A正确。当两个物体间的距离r趋于零时，两物体不能视为质点，不能运用公式计算引力大小，所以B错。两个物体间的引力尽管大小相等、方向相反，但作用在两个不同的物体上，是一对作用力与反作用力，不是平衡力。所以C错。因此本题的正确答案选A。
解答：此题两球质量分布均匀，可视为质量集中于球心的质点，所以两者间距为r1+r2+r
所以两球间的万有引力大小为
因此本题正确答案选D
解答： 完整的铜球跟小球m之间的相互吸引力为
这个力F是铜球M的所有质点和小球m的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为的铜球对小球m的吸引力的合力，即：F=F1+F2．
式中F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力
F2是半径为R／2的小铜球对m的吸引力，
，
所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为F1＝F－F2＝2.41×10－9N
解答：在两极，由万有引力定律得 
①
在赤道
②
依题意mg＇=O.9mg ③
行星质量
④
由①②③④联立解得
解答：设物体的质量为m，则在地球表面上，
且
在火箭中的视重即为支持物对物体的支持力，则有
且
另
综合上述式子可以解得
解答：地表处物体所受引力约等于重力，于是有
=mg
地球的平均密度为
=
=
由此可得
=
=
kg/m3 =5.5×103kg/m3
地核的平均密度为
=
=
=1.2×104kg/m3
解答：发射环绕地球表面运行的飞行物时，有
=m
发射环绕月球表面运行的飞行物时，只有
= m
由此即可得：v月=
·v地=
×7.9×103m/s =1.71×103m/s
解答：同步卫星的周期T=24h=86400s，R=6.37×106m, g=9.8m/s2
根据
解得
解答：由牛顿第二定律，得 F－mg`=ma
而 =mg 
=mg`
由此即可解得 h=R=6.4×106m
解答：在物体的速度为100m/s和0.9倍光速时，根据
分别算出两种情况下的质量为
由此可见：一般物体的运动，不考虑其质量的变化。当其速度接近光速时，质量变化明显。