湖南师大附中物理奥赛测试题（磁场）
姓名： 得分：
1．求两平行载流直导线间的相互作用力。
解:
2．三个电荷位置如图43-19所示，求电荷系的相互作用能（电
荷系的相互作用能，等于搬运各个点电荷过程中外力所做功的代数和）。
解:
3．如图43-5所示，由12根阻值相同，长L相同的导线组成的立方体框架。若把A、B两端接入电路，通电后，求框架中心点的磁感应强度。
解：
4．倾斜角为θ、摩擦系数为µ的斜面上，有一个质量为m、带+q电量的物体可视作质点，如图43-27（a）所示，已知tanθ›µ，空间有跟斜面垂直的匀强磁场，大小为B。求物体沿斜面下滑时的最大速度。
解:
5．如图43-35有一根均匀的导体，长为L，质量为m，电阻为R1，处于磁感应强度为B的匀强磁场中。它由两根相同的轻弹簧悬挂在水平位置，这时每根弹簧伸长量χ0。合下电键K后，弹簧伸长量χ为多大？并讨论其伸长或压缩情况，设电源电动势为ε，内阻不计，两弹簧总电阻为R2。
解:
6．如图43-49（a）所示，半径为R的匀质细圆环质量为m，均匀带电，总电量为Q（Q›0），圆环放在光滑的水平面上，周围有竖直向上的匀强磁场B。今圆环以角速度ω绕着通过圆心的竖直轴匀速转动。试求环内因这种转动造成的附加张力。
解:
7．一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动。已知电场强度为E，方向竖直向下，磁感应强度为B，方向如图43-80（a）所示。若此液滴在垂直于磁感应强度的平面内，作半径为R的圆周运动（设液滴质量为m，空气浮力和阻力忽略不计）。问：
1、液滴受哪几个力的作用？
2、液滴的速度大小如何？绕行方向如何？
3、倘若液滴运行到轨迹最低点A时，分裂成两个大小相同的液滴，其中一个液滴分裂后仍在原平面内作半径为R1=3R的圆周运动，绕行方向不变，且此圆周最低点也是A，问另一个液滴将如何运动？
解：
。
8．如图43-110（a）所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度υ和运动的总路程s（重力不计）。
解：
9．如图43-146（a）所示，一窄束单能氩离子通过一扇形匀强磁场，此束射线的
轴在进、出磁场的时离子束的轴线都与场的边界垂直。求质量数为m1=36和m2=40的氩同位素束的发散角，已知ψ=60º。
解：
10．如图43-129所示，一对竖直放置的平行金属板长为L，板间距离为d，板间电压为U。板间加一个与电场方向垂直的指向纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为B，有一个质量为m、带正电的油滴，由离极板的上端点某高处的M点自由下落，通过两板上端连线中点N进入场区。已知油滴经过N点时在水平方向受力平衡，油滴通过场区后贴
着正极板的下端点D处离开。求：
（1）M点到N点的高度h多大？
（2）油滴在D点时的速度多大？
解：
11.如图43-191所示，电子源每秒钟发射2.5×1013个电子，以υ0=8×106m/s速度
穿过P板上的A孔，从MN两平行板正中央进入，速度方向平行于板且垂直于两板间的匀强磁场，已知MN两板有恒定不变的电势差UMN=80V，板间距离d=1×10-3m，电子在MN间做匀速直线运动后通过小孔K进入的由CD两平行板组成的已充电的电容器中，已知电容C=8×10-8F，电子击中D板后被D板吸收，设时刻t1=0时，D板电势比C板高818V，在时刻t2=T，开始出现电子打中M板，已知电子m=9.1×10-31kg，q=1.6×10-19C，电子从A到D的运动时间不计，C、P两板都接地，电子间忽略碰撞与斥力，求：
（1）MN之间匀强磁场的磁感应强度。
（2）时间T，以及电子打到M板上时，每个电子的动能（以eV为单位）。
（3）在时刻t3=-3/5T，打到D板上的电子流的功率。
解：
12．如图43-20（a）所示，两根平行金属棒与两金属弹簧构成回路。已知棒长为L，质量为m，只能作左右对称的运动，边缘效应可以忽略。已知弹簧的劲度系数为K，原长为L0（L0«L），设以某种方式使回路有恒定的电流I，设电磁感应可以忽略。试求两棒围绕平衡位置作小振动的周期。
解:
湖南师大附中物理奥赛测试题（磁场）
姓名： 得分：
1．求两平行载流直导线间的相互作用力。
解:如图43-17所示，两相距为a的平行长直导线分别载有电流
和
。
载流导线1在导线2处所产生的磁感应强度为
，方向如图示。
导线2上长为
的线段所受的安培力为
其方向在导线1、2所决定的平面内且垂直指向导线1，导线2单位长度上所受的力
同理可证，导线1上单位长度导线所受力也为
方向垂直指向2，两条线间是吸引力，也可证明，若两导线内电流方向相反，则为排斥力。
国际单位制中，电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为：放在真空中的两条无限长直平行导线，通有相等的稳恒电流，当两导线相距1米，每一导线每米长度上受力为
牛顿时，各导线上的电流的电流强度为1安培。
2．三个电荷位置如图43-19所示，求电荷系的相互作用能（电荷系的相互作用能，等于搬运各个点电荷过程中外力所做功的代数和）。
解: (1)设想开始时三个电荷均处于无穷远处，电势能均为0，B电荷从无穷远处移至目前的位置，不需外力做功。
(2)
然后，将A电荷从无穷远处移至目前位置，外力做功
，则
(3)
最后，将C电荷从无穷远处移至当前位置。由于A、B电荷的存在，外力做功
应等于C电荷相对于A和B电势能增量之和。
综上，系统的相互作用能总和为
点评：相互作用能即电势能，因而，求算电荷系的电势能总和也可采用上述求法。
3．如图43-5所示，由12根阻值相同，长L相同的导线组成的立方体框架。若把A、B两端接入电路，通电后，求框架中心点的磁感应强度。
分析：根据对称性可知，通过导体1的电流与通过导体12的电流方向相同，大小也相同，它们在中心点O的合磁感应强度为零。同理，导体2与11，导体3与10，导体4与9，导体5与8，导体6与7都与导体1与12的情况类似。
解：从以上分析可知，框架中心O点处的合磁感应强度为零。
说明：严格地讲自A流入的电流的延长线和自B流出的电流的反向延长线必须过框架的中心点O，否则要考虑到它们的影响。
4．倾斜角为θ、摩擦系数为µ的斜面上，有一个质量为m、带+q电量的物体可视作质点，如图43-27（a）所示，已知tanθ›µ，空间有跟斜面垂直的匀强磁场，大小为B。求物体沿斜面下滑时的最大速度。
解:两个视角的受力图，见图43-27（b）所示。小滑块沿斜面做曲线运动，洛伦兹力是变力，大小方向都改变。某时刻当三个斜面内受力的合力为零时，速度达到稳定且最大。设角变量为
，有
(1)
(2)
从(1)式中得 
根据三角函数公式得
代入(2)式消去
和
并整理化简，得关于
的方程式：
解方程得
5．如图43-35有一根均匀的导体，长为L，质量为m，电阻为R1，处
于磁感应强度为B的匀强磁场中。它由两根相同的轻弹簧悬挂在水平位置，这时每根弹簧伸长量χ0。合下电键K后，弹簧伸长量χ为多大？并讨论其伸长或压缩情况，设电源电动势为ε，内阻不计，两弹簧总电阻为R2。
解:K不闭合时，导体平衡可得 
当K闭合时，根据平衡条件可得
(1)当
时，为正，弹簧伸长，但
(2)当
时，为0，弹簧无形变
(3)当
时，为负，弹簧压缩
6．如图43-49（a）所示，半径为R的匀质细圆环质量为m，均匀带电，总电量为Q（Q›0），圆环放在光滑的水平面上，周围有竖直向上的匀强磁场B。今圆环以角速度ω绕着通过圆心的竖直
轴匀速转动。试求环内因这种转动造成的附加张力。
分析:当环静止无转动时，因带电，产生电场，在圆环上的电场强度不为零，故环上的电荷受电场力产生张力，本题要计算的是，除静止时已有的张力外，因环转动而产生的附加张力。
因环带电，转动时将形成电流，使之受周围磁场的安培力，其方向由环心指向环边缘，即相当于离心力。由此，此起环内的附加张力。但附加张力产生的指向环心的作用力并不刚好与安培力抵消，两者的矢量和应指向环心，以便为维持环转动提供相应的向心力。
解:如图43-49（b）所示，在圆环上任取一小段圆弧
因圆环以
角速度旋转，在环内形成的电流为
小段电流
在磁场B中所受安培力
的方向如图43-49（b）所示，其大小为
把因转动而在圆环内产生的附加张力记为T，如图43-49（b），对于
小段，两端张力的合力为
，其方向指向环心，大小为
式中
是弧对环心O的张角。
与之差提供了小段转动所需的向心力
，即
因的质量为
、角速度为ω、圆运动的半径为R，故所需向心力为
由以上四式，解出
7．一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动。已知电场强度为E，方向竖直向下，磁感应强度为B，方向如图43-80（a）所示。若此液滴在垂直于磁感应强度的平面内，作半径为R
的圆周运动（设液滴质量为m，空气浮力和阻力忽略不计）。问：
1、液滴受哪几个力的作用？
2、液滴的速度大小如何？绕行方向如何？
3、倘若液滴运行到轨迹最低点A时，分裂成两个大小相同的液滴，其中一个液滴分裂后仍在原平面内作半径为R1=3R的圆周运动，绕行方向不变，且此圆周最低点也是A，问另一个液滴将如
何运动？
解：设液滴所带电量为q，运行速度为υ。
1、液滴受重力为mg、电场力
三个力作用（图43-80（b））。
2、因液滴做圆周运动，故知重力mg与电场力
，平衡，且磁场力
是液滴作圆周运动的向心力，即
（1）
（2）
解（1）与（2）式得
（3）
由于重力与电场力平衡，即电场力与电场强方向相反，故可以判断液滴带负电荷。在A点，它所受磁场作用力向上，电流方向应为向右，负电荷的绕行方向应为顺时针方向。
3、液滴分裂成两个大小相同的液滴后，由于第一个液滴仍做圆周运动，由此，可知它所受的电场力与重力仍然平衡，故两个液滴不仅质量相等，而且其所带电量也相等又由于第一个液滴的轨道半径为R1=3R，并设其速度为
，根据（3）式，同理可得其速度大小为
（4）
其绕行方向与原来液滴的绕行方向相同。
设分裂后第二个液滴的速度为
，由动量守恒定律，得
将（4）式代入上式得
上式说明第二个液滴在A点的速度与原液滴速度大小相等，方向相反，即它仍在原运动平面内以 R为半径作匀速圆周运动，但该圆的最高点为A，绕行方向也是顺时针的。
8．如图43-110（a）所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度υ和运动的总路程s（重力不计）。
解：粒子运动路线如图43-110(b)所示有
L=4R (1)
粒子初速度为
，则有 
(2)
由(1)、(2)式要算得
(3)
由 (1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)式，得
说明:粒子进入磁场在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，经过半圆周后，沿电场线方向进入电场，在电场力作用下做匀变速直线运动，最后又原路返回进入磁场，又重复以上运动。
9．如图43-146（a）所示，一窄束单能氩离子通过一扇形匀强磁场，此束射线的轴在进、出磁场的时离子束的轴线都与场的边界垂直。求质量数为m1=36和m2=40的氩同位素束的发散角，已
知ψ=60º。
解：因为
，而
，故不同质量离子的回转半径
参见图43-146（b）在三角形
有
（
，由于
很小，可知角α很小，点D和
实际上几乎重合。）
因此发散角
10．如图43-129所示，一对竖直放置的平行金属板长为L，板间距离为d，板间电压为U。板间加一个与电场方向垂直的指向纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为B，有一个质量为m、带正电的油滴，由离极板的上端点某高处的M点自由下落，通过两板上端连线中点N进入场区。已知油滴经过N点时在水平方向受力平衡，油滴通过场区后贴着正极板的下端点D处离开。求：
（1）M点到N点的高度h多大？
（2）油滴在D点时的速度多大？
解：油滴经过N点时在水平方向受力平衡，说明它受到的电场力与洛伦兹力大小相等方向相反，从洛伦兹力能表示出
，再由自由下落求出h。从N到D点，在场区中，随着油滴速度的变化，不再是直线运动而是较复杂的曲线运动，只能用功能关系求油滴在D点的速度。
（1）在N点，
（1）
从M到N，机械能守恒
（2）
由（1）（2）得
（3）
（2）从M到D的过程中，重力做功
，电场力做功
，洛伦兹力不做功。
根据动能定理 
（4）
（3）代入（4）得
11.如图43-191所示，电子源每秒钟发射2.5×1013个电子，以υ0=8×106m/s速度穿过P板上的A孔，从MN两平行板正中央进入，速度方向平行于板且垂直于两板间的匀强磁场，已知MN
两板有恒定不变的电势差UMN=80V，板间距离d=1×10-3m，电子在MN间做匀速直线运动后通过小孔K进入的由CD两平行板组成的已充电的电容器中，已知电容C=8×10-8F，电子击中D板后被D板吸收，设时刻t1=0时，D板电势比C板高818V，在时刻t2=T，开始出现电子打中M板，已知电子m=9.1×10-31kg，q=1.6×10-19C，电子从A到D的运动时间不计，C、P两板都接地，电子间忽略碰撞与斥力，求：
（1）MN之间匀强磁场的磁感应强度。
（2）时间T，以及电子打到M板上时，每个电子的动能（以eV为单位）。
（3）在时刻t3=-3/5T，打到D板上的电子流的功率。
解：（1）开始一段时间电子能在MN之间做匀速直线运动，说明
，
（2）开始时
，
一直为零，随着D板吸收电子，电势降低，降到比零还要低，CD之间的电场力才会对电子做负功。在MN间匀速直线运动的电子具有动能为
当D板电势降到-182V时，电子被D板反弹，从C板K孔向左射出，在复合场中受电场力与磁场力作用方向都向上，故电子向M板汇聚。CD两板间电压从D比C高818V到D比C低182V，共变化
，这段时间被D板吸收的电子总电量为
每秒钟吸收电子
个，所以时间
打中M板的电子被MN之间的电场力做了正功
（3）
，CD间电压变化为
此时的电势仍是D板比C板高218V，CD之间的电场力对击中D板的电子做正功，每个电子击中D板时的动能为
电子流的功率
12．如图43-20（a）所示，两根平行金属棒与两金属弹簧构成回路。已知棒长为L，质量为m，只能作左右对称的运动，边缘效应可以忽略。已知弹簧
的劲度系数为K，原长为L0（L0«L），设以某种方式使回路有恒定的电流I，设电磁感应可以忽略。试求两棒围绕平衡位置作小振动的周期。
解:两棒中通有等值反向的电流，彼此间有斥力作用。当弹簧伸缩时又有弹力作用。先确定两棒的平衡位置。设平衡时，弹簧伸长
，弹簧长度为 
两棒所受弹力
安培力 
故平衡条件为：
（1）
即 
解出正根 
（2）
故平衡时两棒距离为
（3）
取
轴如图43-20（b），原点O设在右棒的平衡位置。设右棒向右偏离小量，同时左棒向左偏离小量，即当两棒相距（
）时，右棒受力为
令 
而 