暑假专题——动量和能量

　　力的效应：

　　

　　力对时间的积累效应——动量定理Ft＝p₂－p₁，当合外力的冲量为零时，系统动量守恒p₁＝p₂。

　　力对空间的积累效应——动能定理Fs＝E_k2－E_k1，当只有重力和弹簧弹力做功时，机械能守恒E₁＝E₂。

（一）动量定理和动能定理

　　动量和动能是从不同角度描述物体运动状态的物理量。动量是矢量，而动能是标量；物体动量的变化用外力的冲量来量度，而动能的变化则用外力的功来量度。动量定理和动能定理的公式分别为：

　　Ft＝mv₂－mv₁　　　　　　　　　　　　　　①

　　

　　虽然两个公式分别为矢量式和标量式，但不难看出二者仍有很多相同的地方。首先两个公式的形式是相似的；其次式中的v₁、v₂和s均应相对于同一惯性系；再者合外力的冲量Ft与合外力的功Fs在求解方法上也具有相似性，即可以先求合力F再求它的冲量或功，也可以先求各分力的冲量和功再合成。

（二）动量守恒定律和机械能守恒定律

　　如果说动量定理和动能定理研究对象仅限于单个物体的话，那么动量守恒定律和机械能守恒定律的研究对象则一定是由多个物体所构成的系统。二者的数学表达式常用形式分别为

　　

　　

　　在应用两个守恒定律解题时首先要注意系统的确定和守恒条件的确定。两个守恒定律的条件含义是完全不同的，解题时千万不能混为一谈。

  1. 动量守恒的条件

　　①动量守恒定律的条件是系统不受外力的作用，但是实际上，根本不受外力作用的系统是不存在的，只要系统受的合外力为零，那么该系统就将严格遵循动量守恒定律，因为“合外力为零”与“不受外力作用”在对系统运动状态的变化上所产生的效果是相同的。

　　②在实际情况中，合外力为零的系统也是很少遇到的，因此在解决实际问题时，如果系统内部的相互作用力（即内力）远比它们所受的外力大（例如相互作用时间极短的碰撞类问题就是如此）就可忽略外力的作用，应用动量守恒定律去处理。

　　③动量守恒定律表示的是物理量之间的矢量关系，所以若系统所受的合外力并不为零，但合外力在某个方向上分量为零时，那么尽管系统的总动量不守恒，但总动量在该方向上的分量却是守恒的，例如平抛或斜抛出去的物体，它们只在竖直方向上受到外力，而水平方向上不受外力作用，因此尽管该物体在飞行的过程中总动量不守恒但在水平方向上动量却是守恒的。

  2. 机械能守恒的条件

　　“只有重力和弹力做功”这一条件可理解为包含下列三种情况：①只受重力或弹力；②除重力和弹力外，其他力不做功；③除重力和弹力，其他力做功的代数和为零。如汽车爬坡时，若牵引力和阻力相等则属于这种情况。这里的“其他力”包括外力和内力，如炸弹爆炸、气体膨胀等均属于内力做功造成了机械能的改变。在具体的题目中，判断机械能是否守恒至关重要，一定要认真分析，千万不能想当然。例如，如图所示的各种情况下，均不计一切摩擦，在判断A、B机械能是否守恒时，不少同学仅凭以往做题所得来的片面的感性认识，认为物体沿斜面和曲面滑动时，支持力不做功，杆对小球的作用力在球摆动过程中对球也不做功，所以下列各种情况中，物体A的机械能均守恒。仔细分析不难发现，这四种情况下，物体A所受的支持力或杆的拉力对A均做负功，A的机械能减少。而A和B构成的系统却满足守恒条件，在运动的过程中机械能守恒。

【典型例题】

  例1. 一个质量为m的木块，从半径为R、质量为M的1/4光滑圆槽顶端由静止滑下。在槽被固定和可沿着光滑平面自由滑动两种情况下，如图所示，木块从槽口滑出时的速度大小之比为多少？

　　解析：圆槽固定时，木块下滑过程中只有重力做功，木块的机械能守恒。木块在最高处的势能全部转化为滑出槽口时的动能。由：

　　

　　

　　圆槽可动时，当木块开始下滑到脱离槽口的过程中，对木块和槽所组成的系统，水平方向不受外力，水平方向动量守恒。

　　设木块滑出槽口时的速度为v₂，槽的速度为u，则：

　　mv₂＋Mu＝0　　　　　　　　　　　 ③

　　又木块下滑时，只有重力做功，机械能守恒，木块在最高处的势能转化为木块滑出槽口时的动能和圆槽的动能，即：

　　

　　联立③④两式解得木块滑出槽口的速度：

　　

　　因此，两种情况下滑出槽口的速度之比：

　　

  例2. 如图所示，在光滑水平面上有两辆车处于静止状态，其上分别站有甲、乙两个小孩，每辆车和小孩的总质量均为M，甲车上的小孩拿着一质量为m的球。现小孩甲将球抛给乙，乙接住后又抛回给甲，如此重复多次，最后球又回到了甲的手中，求甲、乙两车最后的速率之比。

　　解析：此题若先以甲车及其上的小孩和球为研究对象，应用动量守恒定律列出方程，再以乙车、小孩乙及球为研究对象同样列方程，如此这样分析下去，将非常繁锁。可见，这样选取研究对象显然是不好的。

　　因为在抛球的过程中，只有两车、两个小孩和球组成的系统之间发生相互作用，因此可以两车、两小孩及球组成的系统为研究对象，以第一次小孩甲抛球时为初态，以最后小孩甲接住球为末态进行研究。因系统在水平方向不受外力，故系统动量守恒。初态系统的总动量为零；末态甲车、小孩及球的总动量为（M＋m）v_甲，乙车及其上小孩的总动量为mv_乙，设甲车的运动方向为正，则据动量守恒定律便可解得。

　　解：以两车、两小孩及球组成的系统为研究对象，选最后甲车速度为正方向，设最后甲、乙两车速度分别为v_甲、v_乙，自始至终系统动量守恒。

　　对于系统的初、末状态由动量守恒得：

　　

　　

　　甲、乙速率之比为M：（M＋m）

　　点评：

　　①从本题的求解过程不难看出，研究对象的选取和研究过程的确定对问题的顺利求解，起着至关重要的作用。

　　②本题的结果表明，无论球在两车之间抛多少次，两车的速率之比总为一定值。

　例3. 如图，质量为0.5kg、长1.2m的金属盒AB，放在水平桌面上，它与桌面间动摩擦因数μ＝0.125。在盒内右端B处放着质量也为0.5kg、半径为0.1m的小球，球与盒间无摩擦。若在A端给盒以水平向右的冲量1.5N·s，设盒在运动中与球碰撞时间极短，且无能量损失，求：

　　（1）盒从开始运动到完全停止所通过的路程是多少？

　　（2）盒从开始运动到完全停止所经过的时间是多少？

　　解析：（1）盒的初速度：

　　

　　盒从开始运动到完全停止的过程中，盒的初动能全部转化为因摩擦所产生的内能，所以：

　　

　　所以盒通过路程为：

　　

　　（2）从盒开始运动到第一次碰撞的t₁时间内，球静止，盒减速运动，对盒有：

　　

　　

　　

　　由①②③得：t₁＝0.4s，v₁＝2m/s

　　球与盒碰撞后二者交换速度，球再经时间t₂与盒第二次碰撞。所以：

　　

　　二者碰后再次交换速度，盒再运动时间t₃停下，所以：at₃＝v₁

　　

　　t₃时间内盒子位移：

　　

　　所以盒子至停止运动不再和球发生碰撞，因此盒从开始运动到停下所用总时间：

　　

　例4. 滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ。假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变。求：

　　（1）滑雪者离开B点时的速度大小；

　　（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s。

　　解析：（1）设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为θ，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功

　　

　　

　　

　　（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上

　　

　　

　　

　　

　　

　　

【模拟试题】

  1. 起重机竖直吊起质量为m的重物，匀加速上升的加速度是a，上升的高度是h，则起重机对货物所做的功为（　　）

　　A. mgh　　　　　　　　　B. mah　　　　　　　　　C. mgh＋mah　　　　D. mgh－mah

  2. 物体自由落下，速度在由0增加到5m/s和由5m/s增加到10m/s的两段时间内，重力做功的平均功率之比是（　　）

　　A. 1：2　　　　　　　　 B. 1：3　　　　　　　　 C. 3：1　　　　　　　　　　　　D. 1：1

  3. 质量为m的物体，在与水平成α角的斜向上方的拉力F的作用下，沿水平面作匀速直线运动，物体和水平面间的动摩擦因数为μ，物体移动s，拉力做的功是（　　）

　　A. 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　C. 　　　　　　　　　 D.

  4. AC、AD、AE是具有相同高度的光滑斜面，质点由A从静止开始，分别沿AB、AC、AD、AE不同的路径到达地面，则（　　）

　　A. 下滑所用的时间都相同

　　B. 下滑过程中，重力对质点做的功都相同

　　C. 下滑过程中，重力做功的平均功率都相同

　　D. 到达地面时质点的速度大小都相同

  5. 物体1和物体2的质量不同，m₁>m₂，它们在同一水平面上运动，它们与水平面间的动摩擦因数相同，开始时它们具有相同的动量，比较它们运动到停止所经过的路程s₁和s₂，则（　　）

　　A. s₁>s₂　　　　　　　　B. s₁＝s₂　　　　C. s₁<s₂　　　　 D. 无法判断

  6. 质量是50g的小球以20m/s的竖直速度落到水平面上，又以10m/s的速度竖直向上弹起，则小球的动量的改变量的大小是（　　）

　　A. 0.5kg·m/s　　　　　　　　　　　　　　B. 1.5kg·m/s

　　C. 1kg·m/s　　　　　　　　　　　　　　　 D. 2kg·m/s

  7. 甲、乙两个物体质量分别为和，，它们在恒力的作用下，动量p随时间的变化关系如图。两条直线互相平行，由图线比较甲、乙两物体的受力大小，下列说法中正确的是（　　）

　　A. 甲物体受力大　　　　　　　　　　　　　　　B. 乙物体受力大

　　C. 甲、乙受力一样大　　　　　　　　　　　 D. 条件不足，无法判断谁受力大

  8. 两球作相向运动，发生正碰，碰撞后两球变为静止，于是可以断定碰撞以前（　　）

　　A. 两球的动量一定不同　　　　　　　　　　B. 两球的动量一定相同

　　C. 两球的速度一定相同　　　　　　　　　　D. 两球的动能一定相同

  9. 质量是m的子弹以速度射入静止的质量是M的木块中，以速度v共同前进，在这过程中，整个系统转变为内能的机械能等于（　　）

　　A. 　　　　　　　　　　　　　　　　B.

　　C. 　　　　　　　　 D.

  10. 在平直的公路上，汽车由静止开始作匀加速直线运动，当速度达到后，立即关闭发动机，使其滑行，直至停止，设在运动的全过程中汽车牵引力做功为W₁，克服摩擦力做功为W₂，则W₁：W₂应是（　　）

　　A. 1：1　　　　　　　　　　　　B. 1：2　　　　　　　　 C. 1：3　　　　　　　　 D. 1：4

  11. 下列说法中，违反动量守恒定律的是

　　A. 两个运动物体A和B，相碰后合为一体，A的动量变化与B的动量变化大小相等

　　B. 质量相等的两个物体，以同一速率相向运动，作正碰后，各以原有的速率分开

　　C. 质量不等的两个物体，以相同的速率相向运动，作正碰后，以某一相同的速率向同一方向运动

　　D. 质量不等的两个物体，以相同的速率相向运动，作正碰后，各以原有的速率分开

  12. 在光滑的水平面上有两块木块A和B，质量均为m。B的左侧固定着一个轻质弹簧如图。开始时B静止，A以速度向右运动与B发生作用，那么在A与B的相互作用过程中（　　）

　　A. 在任意时刻，A、B系统的总动量守恒

　　B. 在任意时刻，A、B系统的总动能守恒

　　C. 当弹簧被压缩到最短时，A、B具有相同的速度

　　D. 当弹簧恢复到原长时，A、B具有相同的速度

  13. 在光滑水平面上，动能为、动量的大小为的小钢球1与静止小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向相反，将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为E₁、p₁，球2的动能和动量的大小分别记为E₂、p₂，则必有（　　）

　　A. E₁<E₀　　　　　　　　　　　B. p₁<p₀　　　　　　　　C. E₂>E₀　　　　　　　 D. p₂>p₀

  14. 物体作平抛运动，在任意1s内（　　）

　　A. 势能的变化是相同的　　　　　　　　　　　　　 B. 动量的变化是相同的

　　C. 动能的变化是相同的　　　　　　　　　　　　　 D. 重力所做的功是相同的

  15. 从同一高度分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，则它们从抛出到落地（　　）

　　A. 运行的时间相等　　　　　　　　　　　　　　　　　B. 加速度相同

　　C. 落地时的速度相同　　　　　　　　　　　　　　　D. 落地时的动能相等

  16. 长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，小球在竖直平面内作圆周运动并能通过最高点，则（　　）

　　A. 小球通过最高点时的速度可能为零

　　B. 小球通过最高点时所受绳的拉力可能为零

　　C. 小球通过最低点时的速度可能为

　　D. 小球通过最低点与通过最高点时所受绳的拉力大小之差为6mg

  17. 如下图，人通过小定滑轮拖住重力是G的物体，人从A点走到B点使物体匀速上升，绳子的方向由竖直变为与水平方向成θ角，若不计滑轮质量和摩擦，在这个过程中，人的拉力做的功是（　　）

　　A. Gs　　　　　　　　　　B. Gscosθ　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　 D.

  18. 有一个不稳定的原子核。原来处于静止，它的质量为M，它放射出一个质量为m，速度为v的粒子，若v表示粒子相对于地的速度，则原子核的剩余部分反冲速度的大小是（　　）

　　A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　 D.

  19. 甲、乙二人站在一辆静止的小车上，小车处于光滑的水平地面上，甲、乙先后以某一相对于地的速度跳下小车。小车最后速度为v₁，若甲、乙同时以跟刚才同样的相对于地的速度跳下小车，小车最后得到的速度为v₂，则（　　）

　　A. v₁>v₂　　　　　　　　　　　 B. v₁＝v₂

　　C. v₁<v₂　　　　　　　　　　　 D. 条件不足，无法判断

  20. 水平飞行的子弹，打穿固定在水平面上的木块，经历时间为，机械能转化成内能的量是。同样的子弹以同样的速度击穿放在光滑水平面上的同样的木块，经历的时间为，机械能转化成内能的量是。假定在两种情况下，子弹在木块中受到的阻力是相同的，比较这两个过程，下列说法正确的是（　　）

　　A. 子弹的加速度相同　　　　　　　　　　　 B. 子弹穿过木块后的速度相同

　　C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

  21. 下列是一些说法：

　　①一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速），这两个力在同一段时间内的冲量一定相同

　　②一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速），这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反

　　③在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反

　　④在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，正负号也不一定相反

　　以上说法正确的是

　　A. ①②　　　　　　　　B. ①③　　　　　　　　C. ②③　　　　　　　　D. ②④

  22. 自由落体在第一秒内、第二秒内的重力的平均功率之比是_________，第一秒末、第二秒末的重力的即时功率之比是_________，第一秒内、第二秒内物体的动量的增量之比是___________，第一秒内、第二秒内物体动能的增量之比是____________。

  23. 两个小球的质量之比，它们以相同的动量从同一地点竖直上抛，它们上升到最大高度所需的时间之比是t₁：t₂＝_________，上升的最大高度之比是h₁：h₂＝_______。

  24. 在水平面上有一质量为M的物体，原来处于静止。它受到水平恒力F的作用而开始运动，经过时间t后，撤去外力，又经过时间t，物体刚好停下来，则物体受到摩擦力的大小是___________。

  25. 物体在长为L，倾角为α的斜面上恰能匀速下滑，则物体与斜面之间的动摩擦因数是__________。如果物体质量是m，在沿斜面向上的推力作用下由斜面底端匀速上行到顶端，这个推力做的功是_____________，克服摩擦力做的功是___________，重力做的功是__________。

  26. 如图所示，劲度系数为k₁的轻质弹簧两端分别与质量为m₁、m₂的物块1、2拴接，劲度系数为k₂的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系数处于平衡状态，现在施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中，物块2的重力势能增加了___________，物块1的重力势能增加了_________。

  27. 质量是m的铁球，由离泥土地面H高处自由落下，进入地面h深度而停止，则泥土对铁球的平均阻力大小是___________。

  28. 汽车的额定功率是40kw，当牵引力是4000N，速度是5m/s时，实际功率是________kw。若在额定功率下行驶，汽车受到恒定的阻力2000N，汽车的最大速度为_______m/s。

  29. 重力为G的长方体，长为2L，高为L，躺放在水平地面上，现在要把它竖直立起来。这一过程中，外力至少应对它做功___________。

  30. 子弹的速度为v，打穿一块木板后速度刚好变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的，那么当子弹射入木板的深度等于木板厚度的时，子弹的速度大小是__________。

  31. 喷水池喷出的竖直向上的水柱高h＝5m，空中有水20dm，空气阻力不计，则喷水机做功的功率约为__________W（g取10m/s²）

  32. 质量分别为m_A和m_B＝1.5kg的A和B两个物体在光滑水平面上发生正碰。若不计碰撞相互作用时间，它们碰前碰后的位移–––时间图线如图所示，则m_A＝______kg，碰前A、B的总动能是_________；碰后A、B的总动能是____________。

【试题答案】

　1. C　　　　　　　　　 2. B　　　　　　　 3. D　　　　　　　　　　　4. BD　　　　　　　　　　5. C

　6. B　　　　　　　　　 7. C 　　　　　　　8. A　　　　　　　　　　　9. D　　　　　　　　　　　10. A

　11. D　　　　　　　　 12. AC　　　　　 13. ABD　　　　　　　　14. B　　　　　　　　　　 15. B

　16. BD　　　　　　　 17. C　　　　　　 18. A　　　　　　　　　　19. B　　　　　　　　　　 20. ACD

　21. D

　22. 1：3；1：2；1：1；1：3

　23. 2：1；4：1

　24. F/2

　25. ；；；

　26. ；

　27.

　28. 20；20

　29. 0.62GL

　30. 0.82v

　31. 500

　32. 0.5；4J；1J