弹簧类问题的研究

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为"轻弹簧"，是一种常见的理想化物理模型.常见的的问题分三类:

一、涉及弹簧的动力学问题(平衡\运动\圆周运动)

1.（1999年全国）如图9-1所示，两木块的质量分别为m₁和m₂，两轻质弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　　C.　　　　　　　　 D.

　　　　　　

2.一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为,一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角θ为　　　　　　　　

3..A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图9-6所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s²的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s²）.

(1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；

（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功.

4．质量相同的木块A，B用轻质弹簧连接静止在光滑的水平面上，弹簧处于自然状态。现用水平恒力F推A，则从开始到弹簧第一次被压缩　　　 到最短的过程中（　　）

A．两木块速度相同时，加速度a_A=a_B

B．两木块速度相同时，加速度a_A<a_B

C．两木块加速度相同时，速度v_A<v_B

D．两木块加速度相同时，速度v_A>v_B

5．如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为m_A、m_B，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为g

6.如图B，轻弹簧和一根细线共同拉住一质量为m的物体，平衡时细线水平，弹簧与竖直夹角为θ，若突然剪断细线，刚刚剪断细线的瞬间，物体的加速度多大?

如图A，一质量为m的物体系于长度分别为l₁、l₂的两根细线上，l₁的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l₂水平拉直，物体处于平衡状态.现将l₂线剪断，求剪断瞬时物体的加速度.

二、涉及弹簧的振动问题

7.如图所示，质量分别为m_A=2kg和m_B=3kg的A、B两物块，用劲度系数为K的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45N的力把物块A向下而使之处于静止，突然撤去压力，则(　　  )

A．　 块B有可能离开水平面；

B．　 物块B不可能离开水平面；

C．  只要k足够小，物块B就可能离开水平面；

D．　只要k足够大，物块B就可能离开水平面；

8. 如图所示，自由下落的小球，从它接触竖直放置的弹簧开始到弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（　　）

A、小球在最低点的加速度一定大于重力加速度

B、小球和弹簧组成的系统的机械能守恒

C、小球受到的合力先变小后变大，小球的速度先变大后变小

D、小球和弹簧组成的系统的动量守恒

9．如图所示，劲度系数为k=200N/m的轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为M=8kg的小车a，开始时小车静止，其左端位于O点，弹簧没有发生形变，质量为m=1kg的小物块b静止于小车的左侧，距O点s=3m，小车与水平面间的摩擦不计，小物块与水平面间的动摩擦系数为μ=0.2，取g=10m/s²。今对小物块施加大小为F=8N的水平恒力使之向右运动，并在与小车碰撞前的瞬间撤去该力，碰撞后小车做振幅为A=0.2m的简谐运动，已知小车做简谐运动周期公式为T=2，弹簧的弹性势能公式为E_p=（x为弹簧的形变量），则

（1）小物块与小车磁撞前瞬间的速度是多大？

（2）小车做简谐运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？小车的最大速度为多大？

（3）小物块最终停在距O点多远处？当小物块刚停下时小车左端运动到O点的哪一侧？

10．如图4所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐振动，振动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡的位移为x时，A、B间磨擦力的大小等于　 （　 ）

三、涉及弹簧的动量与能量问题

11.如图所示，小球在竖直力F作用下将竖直弹簧压缩，若将力F撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到速度变为零为止，在小球上升的过程中

A.小球的动能先增大后减小

B.小球在离开弹簧时动能最大

C.小球的动能最大时弹性势能为零

D.小球的动能减为零时，重力势能最大

  12.一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图9-9所示.让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长.

A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒

B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒

C.环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关

D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功

13.如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中

A.动量守恒，机械能守恒　B.动量不守恒，机械能不守恒

C.动量守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒

14．如图，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙．用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E．这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（　　 ）

A．撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒

B．撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒

C．撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E

D．撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3

15.光滑地面上放着两钢球A和B，且m_A＜m_B,B上固定着一轻弹簧，如图所示，现在A以速率v₀碰撞静止的B球，有：

A．当弹簧压缩量最大时，A、B两球的速率都最小；

B．当弹簧恢复原长时，A球速率为零；

C．当A球速率为零时，B球速率最大；

D．当B球速率最大时，弹簧的势能为零；

常见情景:在水平面内，两物体之间夹一弹簧：

临界状态:⑴弹簧压缩到最短（最长）时，⑵弹簧恢复到原长时

16.光滑水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以大小为v₀初速度向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离，⑴当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E_p多大？

⑵若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（1）问中E_p的2.5倍，必须使B球在速度多大时与挡板发生碰撞？

17.如图所示，质量为M的水平木板静止在光滑的水平地面上，板的左端放一质量为m的铁块，现给铁块m一个水平向右的瞬时冲量I，让铁块开始运动，并与固定在木板另一端的弹簧相碰后返回，恰好又停在木板左端，求：

(1)　  整个过程中系统克服摩擦力做的功；

(2)　  若铁块与木板间的动摩擦因数为μ，则m对M相对位移的最大值是多少？

(3)　  系统最大弹性势能是多少？

18.如图6所示，A，B，C三物块质量均为m，置于光滑水平台面上，B、C间夹有已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展，物块A以速度v₀沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A和B、C粘合在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展从而使C与A、B分离，脱离弹簧后C的速度为v₀。

（1）弹簧所释放的势能△E。

（2）换B、C间的弹簧，当物块A以速度v向B运动，物块C在脱离弹簧后的速度为2v₀，则弹簧所释放的势能△E′是多少？

（3）若情况（2）中的弹簧情况（1）中的弹簧相同，为使物块C的脱离弹簧后的速度为2v₀，A的初速度应为多大？ （1995）

19.质量为M＝6kg的小车放在光滑水平面上，物块A和B的质量均为m＝2kg，且均放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧用一根轻弹簧边连，不会分离，如图所示，物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功270J，撤去外力，当A和B分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出，求：

①B与A分离时，小车的速度是多少？

②从撤去外力到B与A分离时，A对B做了多少功？

③假设弹簧伸到最长时B已离开小车，A仍在车上，那么此时弹簧的弹簧势能是多大？

 

20.如图所示，质量为M=0.8kg的小车静止在光滑的水平面上，左端紧靠竖直墙壁，在小车上左端水平固定着一只轻弹簧，弹簧右端放在一个质量为m=0.2kg的滑块，车的上表面AC部分为光滑水平面，CB部分为粗糙水平面，CB长L＝1m，滑块与车间的动摩擦因数为0.4，水平向左推动滑块，压缩弹簧，再静止释放，已知压缩过程中外力做功W＝2.5J，滑块与车右端挡板和与弹簧碰撞时无机械能损失，g=10m/s².求：

①滑块释放后，第一次离开弹簧时的速度？

②滑块停在车上的位置离B端有多远？

涉及弹簧的弹性势能的问题

21.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图9-3所示.一物块从钢板正上方距离为3x₀的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.

22．如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

23．有一倾角为θ的斜面，其底端固定一挡板M，另有三个木块A、B、C，它们的质量分别为m_A=m_B=m，m_C=3m，它们与斜面间的动摩擦因数相同。其中木块A放于斜面上并通过一轻弹簧与挡板M相连，如图。开始时，木块A静止在P处，弹簧处于自然伸长状态。木块B从Q点以初速度v₀向下运动，P、Q间的距离为L。已知木块B在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A相撞后立刻一起向下运动，但不粘连。它们到达一个最低点后又向上运动，木块B向上运动恰好能回到Q点。若木块A仍静放于P点，木块C从Q点外开始以初速度向下运动，经历同样的过程，最后木块C停在斜面的R点，求PR间的距离L′的大小。

24．.如图所示，两个小球1、2的质量分别是m₁=2.0kg、m₂=1.6kg,球1静止在光滑的水平面上的A点，球2在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球1运动，假设两球相距L≤18m时存在着恒定的斥力F，L＞18m时无相互作用力，当两球相距最近时，它们间的距离为2.0m，球2的速度是4m/s。求：

（1）　　　 两球之间的斥力的大小；

（2）　　　 球1的最大的速度以及球1达到最大速度时距A的最小距离

25．.在光滑水平面上有一圆柱形气缸，缸内用活塞密闭一定质量的理想气体，气缸和活塞质量均为m，且绝热，气缸内壁光滑，在气缸的左边固定半径为R的1/4圆周的光滑圆弧轨道，轨道最低的水平切线与气缸内壁面等高，如图所示，现让质量也为m的小球从与圆心等高处静止滑下。

（1）　　　 求小球刚到轨道最低点时对轨道的压力？

（2）　　　 若小球与活塞碰后立即粘在一起，则理想气体增加的最大内能是多少？

26．所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块A和B,一质量为m子弹,以速度v₀,水平击中木块A,并留在其中,A的质量为3m,B的质量为4m.

(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能　

(2)何时B的速度最大，最大速度是多少？

27.如图所示，光滑水平面上物块A质量mA=2千克，物块B与物块C质量相同mB=mC=1千克，用一轻质弹簧将物块A与B连接，现在用力使三个物块靠近，A、B间弹簧被压缩，此过程外力做功72焦，然后释放，试问：

（1）当物块B与C分离时，B对C做功多少？

（2）当弹簧被拉到最长时，物块A和B的速度各为多少？

（3）当弹簧被拉到最长后又恢复到原长时，物块A和B 的　　　　　　　　 速度各为多少？

（4）当弹簧再次被压缩到最短后又伸长到原长时，物块A和B的速度各为多少？

小结:

1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.

2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.

3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W_k=-（kx₂²-kx₁²），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E_p=kx²，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.