北　京　四　中

　　年　级：高　三　　科　目：物　理
　　责　编: 张丽刚　　录　入：张艳红

高三物理专题五 曲线运动（一）

　　综合评述 　
　　曲线运动在中学阶段重点研究抛体和类抛体运动、圆周运动

　　抛体和类抛体运动　
　　1、抛体和类抛体运动(恒力作用下的曲线运动)，物体的加速度大小和方向都恒定不变，是匀变速运动。物体有初速度，而且初速度的方向与物体的加速度方向不在同一条直线上。
　　2、最典型的匀变速曲线运动有三类：①只受重力作用的平抛（和斜抛）物体的运动；②带电粒子以某一初速度，沿着与电场方向成某一夹角射入匀强电场中，只受电场力作用的运动；③物体所受各种外力的合力恒定，而且具有的初速度方向与合外力方向成某一夹角的运动。
　　3、在匀变速曲线运动中，物体的速度大小和方向时刻都在变；恒力做功，物体具有的各种形式的能量在不断转化；……研究速度（矢量）变化的规律、恒力做功的特点、各种不同形式的能相互转化的过程，……是我们的主要目标和任务。
　　4、抛体和类抛体运动，是沿初速度方向的匀速运动与恒力方向上初速度为零的匀加速运动的合运动。这种观点是研究匀变速曲线运动的理论基础，这种观点是力的独立作用原理的体现，这种观点也是研究匀变速曲线运动的基本方向的出发点。因此，矢量的合成与分解，将贯穿分析解决问题过程的始终。
　　注意研究问题的理论观点，掌握分析问题解决问题的基本方法，是培养能力、提高素质的根本途径。

　　圆周运动　
　　1、圆周运动是非常普遍的一类运动，广泛存在于自然界、科学研究和技术实践中，也是日常生活中常见的现象。高考中，通过研究圆周运动问题，考查考生的知识和能力水平十分常见很多试题直接与圆周运动有关。
　　2、圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断改变。圆周运动不可能是匀变速运动，因为即使是等速率的“匀速圆周运动”，其加速度方向也是时刻变化的。
　　3、最典型的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直于匀强磁场的平面里在磁场力（洛仑兹力）作用下的运动；④物体（包括带电质点）在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力……）作用下沿圆周的运动；……
　　3、向心加速度是度量线速度方向变化快慢程度的物理量；向心力是产生向心加速度的力，向心力是根据力的作用效果命名的力；向心力可以由某一种性质的力（如万有引力、库仑力、洛仑兹力、静摩擦力、弹力、……）提供，也可以是几种性质的力的合力提供。
　　4、匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变，匀速圆周运动速度方向的改变方向指向圆心，加速度的方向与向心力的方向都指向圆心。作匀速圆周运动的物体，所受合外力的方向一定指向圆心。
　　5、非匀速圆周运动的物体所受的合外力，肯定不指向圆心，合力沿半径指向圆心的分力，其效果是改变线速度的方向、产生向心加速度；合力沿切线方向的分力，其效果是改变线速度的大小、产生（沿切线方向的）线加速度。
　　6、作匀速圆运动的物体，其动能不变，合外力不做功，或者说（物体所受）外力功的代数和为零；但是，作匀速圆周运动的物体，其动量（矢量）时刻都在变，合外力在某段时间内的冲量（矢量）也就（可能）不为零。
　　7、作非匀速圆周运动的物体，其动能、动量都在改变，外力功的代数和不为零，外力的合力的冲量也（可能）不为零。
　　从上述各点可以看出，作圆周运动的物体，其受力情况比较复杂。我们将从受力情况最简单的运动开始研究。

　　高考视角 　
　　抛体运动与生活实际的结合较为紧密，它考查运动的合成与分解，而且与带电粒子在电场中的运动相结合进行考查，因此也属于基础性知识．圆周运动在与牛顿运动定律的综合方面表现突出；而且天体的运动都近似看做匀速圆周运动，也都是考查的热点．

　　范例精析 　
　　例1、沿水平方向抛出的物体，在抛出后的第2s内位移大小为s₂=25m。
　　（1）物体抛出时的水平初速度v₀=__________m/s；
　　（2）抛出后第2s末，物体的瞬时速度大小v₂=__________m/s，方向与平面夹角___________；
　　（3）在物体抛出后的第1s内，位移大小s₁=__________m，它与水平方向夹角α₁=__________。

　　思维过程　
　　（1）物体在抛出后的第2s内，沿水平方向的位移x₂=v₀Δt，沿竖直方向的位移 ；s₂²=x₂²+y₂²，由此可求初速度
　　（2）物体在2s末的瞬时速度的水平分量v_2x=20m/s，竖直分量v_2y=gt=20m/s，故瞬时速度大小为
　　速度方向与水平面的夹角为
　　（3）物体在抛出后的第1（s）内位移大小为
　　
　　位移与水平方向的夹角

　　误区点拨　
　　注意速度方向与位移方向的区别

　　思维迁移　
　　运动的合成与分解中的两个分运动连接的桥梁是时间相等。

　　变式题　
　　1.第一次从h高处水平抛出的物体，水平射程为s；第二次用同样的水平速度从另一高处平抛出去的物体，水平射程增加了Δs；则第二次抛出点的高度h'=_________。
　　[解析] 根据平抛物体运动的规律
　　 ，得
 ，得
　　两式相比，可得第二次抛出点的高度

　　2. 物体从倾角为θ的斜面上的A点沿水平方向抛出时的初动能为E_k0，当物体落到斜面上B点时，其动能E_kt多大？
　　[解析]作示意图，如图3-1所示。
　　由 ，可知 。
　　设物体由A到B运动时间为t，则
　　可知物体到达B点时，其速度的竖直分量为v'=gt=2v₀tanθ
　　可见，物体到达B点时的动能为
　　
　　（动能增加了4tan²θE_k0）。

　　3. 从倾角为θ的斜面上的同一点，以大小不相等的初速度v₁和v₂（v₁>v₂），沿水平方向抛出两个小球；两个小球落向斜面前的瞬时速度方向与斜面的夹角分别为α₁和α₂，则（　　）
　　A、α₁>α₂ 　B、α₁<α₂
　　C、α₁=α₂ 　D、无法确定
　　[解析]如图3-2所示。设小球从斜面上的O点抛出，落在斜面上的P点。
　　以O点为原点建立平面直角坐标系，x轴与水平初速度v₁、v₂同方向，y轴竖直向下，P点的坐标为（x，y），小球落向斜面前的瞬时速度v_t与斜面夹角为α，根据平抛运动规律、参见图3-2，可知
　　
　　由于θ是已知量，由上式可知：α是不变量，与初速度（v₀）无关。故本题应选择C。
　　运用发散思维方法，将上述研究深入下去，可得一条重要结论。
　　在图3-2中，将v_t反向延长，与x轴交A点，与y轴交B点；显然=θ+α，前已证明： .可见： ，OB=y。
　　在后面即将研究“带电粒子以初速度v₀，沿着与电场垂直的方向射入匀强电场中，当带电粒子离开匀强电场时，它们都好像是从电场中心（ ）处沿直线射出似的”。请读者注意比较。

　　4.从空中同一点O、沿同一条水平直线、同时向相反方向、分别以初速度v₁和v₂抛出两个小球。试问：经过多少时间，两个小球的瞬时速度方向间的夹角恰好为90°？
　　[解析]设经过时间t，两个小球分别达到A点和B点，由于两个小球抛出后竖直方向上的分运动都是自由落体运动，所以A、B点处在同一水平线上（图3-3）；作v_A、v_B的矢量图，根据第3题可知，v_A、v_B的反向延长线必相交于过O点的竖直线上的O'点，且OO'=OD。
　　　　　　　
　　设v_A、v_B互相垂直，v_A、v_B与竖直方向的夹角分别为α和β，即α+β=90°，则图3-3中两个画有阴影线的直角三角形相似，由此可得
　　
　　即 。可见；两个小球抛出后，过时间 ，它们的瞬时速度方向恰好互相垂直。

　　小结　
　　1、通过上述五道例题的研究，可以看出下列诊断是正确的。有的甚至可以认为是“定理”。
　　（1）只要知道平抛物体的初速度，就能求得抛出后任意时刻物体的瞬时速度的大小和方向，也能计算抛出后任意一段时间内物体的位移大小和方向，还能知道任意时刻物体的位置，……反过来也行。如例1中，知道平抛物体在抛出后的第2s内的位移大小，就能求：初速度、任意时刻的瞬时速度（矢量）、任意一段时间内的位移（矢量）……
　　（2）从同一高度平抛出去的物体，其水平射程（s）与初速度（v₀）成正比。以相等的初速度平抛出去的物体，其水平射程的平方与抛出点的高度成正比。
　　（3）以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，落向斜面前的瞬时速度与斜面之间的夹角α与初速度大小无关，是一个恒定的值，且tan(θ+α)=2tanθ。
　　（4）从倾角为θ的斜面上平抛出去的物体，如果初始动能为E_k0，则物体落向斜面前的动能E_k1=(1+4tan²θ)E_k0；运动过程中物体的动能增量为ΔE_k=4tan²θE_k0。
　　……
　　2、提出上述各点，特别是（2）、（3）、（4），不是要求牢记这些结论，而是要掌握研究问题的方法，只要掌握了研究问题的方法，自己就能通过推导，得到更多有意义的结论。

　　例2、从倾角为θ的斜面上的A点，以初速度v₀，沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B点。
　　（1）小球从A到B运动多少时间？
　　（2）小球从A到B的运动过程中，何时与斜面距离最大？最大距离多大？

　　思维过程　
　　（1）设小球由A到B运动时间t，则 得 t=2v₀tanθ/g
　　（2）将v₀和重力加速度g，沿平行于斜面的方向和垂直于斜面的方向分解（如图3-10）；则小球的平抛运动，可以看作是平行于斜面方向上初速度为v₀cosθ、加速度为gsinθ的匀加速运动，与垂直于斜面方向上初速度为v₀sinθ、加速度为
-gcosθ的匀减速运动的合运动。
　　设时刻t'（抛出时开始计时）小球与斜面距离最大，显然
　　 （注意：t'=t/2）。
　　最大距离为

　　误区点拨　
　　小球与斜面距离最大的点特征是v的方向与斜面平行。

　　思维迁移　
　　平抛运动可以看成一般是看成水平和竖直两个方向的分运动合成。但是也可以按照其它方向分解，选择合适的分运动是非常关键的。

　　变式题　
　　如右图所示，光滑斜面长为a、宽为b、倾角为θ。一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。
　　解析：物体在平滑斜面上只受重力和支持力。合外力F=mg·sinθ，方向沿斜面向下。
　　根据牛顿第二定律 mg·sinθ=ma_加
　　其加速度a_加=g·sinθ
　　物体在斜面上有一沿斜面向下的加速度a_加，初速度方向与a_加垂直，所以物体在水平方向是以速度v₀做匀速运动，并沿斜面向下做初速度为零的匀加速运动。
　　在水平方向的位移a=v₀·t
　　沿斜面向下的位移
　　解得

　　小结　
　　1、对于“平抛运动”，你可以相对于地面，把它看作是水平方向上的匀速运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动；你也可以相对斜面，把它看作是平行于斜面的，初速度为v₀cosθ、加速度为gcosθ的匀加速运动，与垂直于斜面，初速度为v₀sinθ、加速度为-gsinθ的匀减速运动的合运动；以后如有必要，你还可以有其它的分析方法。这就是物理思想，是物理学研究方法的基础和出发点。深刻理解物理思想，是掌握研究方法的关键。
　　2、对平抛运动之所以有各种不同的分析方法，是由力与运动的矢量特性决定的，在研究具体的实际例题中，应注意研究矢量变化规律的特殊性。
　　3．如果物体的合理不是重力，但是也是恒力，那么它将做类平抛运动，在与初速度垂直方向上的分运动是初速度为零的匀加速度直线运动。带电粒子在电场中运动、在符合场中的运动，有很多属于这种运动。　

　　例3、如图1—65 所示，圆桶底面半径为R，在顶部有个入口A，在A的正下方h处有个出口B，在A处沿切线方向有一个光滑斜槽，一个小球恰能沿水平方向进入入口A后，沿光滑桶壁运动，要使小球由出口B飞出桶外，则小球进入A时速度v必须满足什么条件?

　　思维过程　
　　思路一：若将圆桶横向展开并将多个这样的展面依次首尾相接，小球在此展面上的运动又可看作平抛运动．
　　解析一：如图1—66所示，小球从人口A处进横向展开并首尾相接的展面做平抛运动．从A到B运动的时间为 ①
　　 沿展面的水平方向做速度为v的匀速直线运动，水平位移
　　 s＝n·2πR，(n＝1、2、3) ②
　　 又有s=v·t ③
　　 联系①②③解得
　　 思路二：由于桶内壁光滑，小球沿水平方向进入A后，只受到重力和桶壁对它的弹力作用，于是小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动．
　　 解析二：小球从入口A进入桶内以后，在竖直方向只受重力作用，且竖直方向初速度为零，故小球在竖直方向做自由落体运动，从A运动到B的时间为
　　 ①
　　 小球在水平方向以速率v做匀速圆周运动，设它从A到B共运动了n圈，则
　　 vt=n·2πR，（n=1、2、3……） ②
　　 联立①②解得
　　 此即为小球进入A时速度v所必须满足的条件．

　　误区点拨　
　　不少同学可能误认为小球只运动一圈就由A到B，因而在结果中遗漏了圈数n．

　　思维迁移　
　　明确小球在水平方向做匀速运动，竖直方向自由落体是解析本题的关键，即建立起正确的物理图景。

　　变式题　
　　1．竖直放置的圆筒内壁光滑，半径为R，半径远小于R的小钢球，从筒口处的A点，以沿内壁水平切线方向的初速度v开始运动，恰好从A点的正下方的B点飞出，如图1—67所示，试问圆筒高度H的可能值是什么?
　　答案：

　　2．如图5-4所示，从一根空心竖直钢管A上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰均不计），若换一根等高但较粗的钢管B，用同样方法抛入此钢球，则运动时间：
　　A、在A管中的球运动时间长 　　B、在B管中的球运动时间长
　　C、在两管中的运动时间一样长　D、无法确定
　　解析：C。此运动可以分解成竖直方向分运动和水平方向分运动。竖直方向上小球只受重力作用，做自由落体运动，水平方向的分运动为匀速直线运动，每一段运动类似平抛运动。在多次相碰中，竖直的管壁对小球只能产生沿水平方向的作用力。根据力的独立作用原理这些力只能改变小球的水平分运动的速度大小和方向，而对竖直分运动没有影响。小球运动时间决定于竖直运动，根据自由落体运动的公式 ，得出 ，由于A、B两管等高，因而小球在两管中运动时间一样长。C正确。
　　另外，将图5－4展开，也可以得到类似1—66的图，只是下面的横坐标的单位不是2πr而是2r。

　　小结　
　　有一些运动不是平抛运动，但是将物理图景的转换为平抛运动，再按其规律来解。