《动量、动量守恒、机械能》综合训练
例1．蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目．一个质量为60kg的运动员，从离水平网3.2m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处，已知运动员与网接触的时间为1.2s．若把这段时间内对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小．（g=10m/s2）
例2．动量分别为5kgžm/s和6kgžm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A追上B并发生碰撞后。若已知碰撞后A的动量减小了2kgžm/s，而方向不变，那么A、B质量之比的可能范围是什么？
例3．质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m
的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。
求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。
例4．设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
例5．已知火车质量M=5.0×105kg，在一段平直轨道上以额定功率P行驶，在300秒内位移为2. 85×103m，同时速度由8m/s增加到火车在此轨道上行驶的最大速度17m/s，设火车阻力f大小恒定，求：(1)火车运动中所受阻力f的大小；(2)火车的额定功率P的大小。
例6．内燃打桩机锤头的质量m1=1800千克，钢筋混凝土桩的质量,m2=1600千克，锤头从距桩顶端上部1.5米的高度自由落下，打击三次后，桩刚好打入土层0.01米，求土层对桩的平均阻力。
例7．质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大弹性势能EP和全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。
例8． 海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？
例9．质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。
例10．一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。
练习
1． 质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有
A.物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH
C.物体的机械能增加了FH D.物体重力势能的增加小于动能的减少
2． 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球动能最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
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一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.2。
现将该物体无初速地放到传送带上的A点，然后运动到了
距A 1m的B点，则皮带对该物体做的功为（ ）
A. 0.5J B. 2J C. 2.5J D. 5J
4．一个人把一重物由静止开始举高
，并使其获得一定的速度。则：
A．人对重物做的功等于重物动能和势能增量的和。
B．所有外力对重物所做的功等于物体动能的增量。
C．重物克服重力所做的功等于重物势能的增量。
D．所有外力对重物所做的功等于重物机械能的增量。
5． 如图所示，物体从A处开始沿光滑斜面AO下滑，又在粗糙水平面上滑动，最终停在B处。已知A距水平面OB的高度为，物体的质量为m，现将物体m从B点沿原路送回至AO的中点C处，需外力做的功至少应为
A．
B．
C．
D．2
6．如图5–3所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑水平面上．如果物体A被水平速度为v0的子弹射中并嵌在物体A中，A的质量是B的质量的3/4，子弹的质量是B的质量的1/4，则弹簧被压缩到最短时的速度为：
Ａ．
v0 Ｂ．
v0 Ｃ．
v0 Ｄ．
v0
7． 如图5–4甲所示，一质量为M的木板静止在光滑水平地面上，一质量为m的小滑块以一定的初速度v0从木板的左端开始向木板的右端滑行．滑块和木板的水平速度大小随时间变化的情况如图5–4乙所示，根据图象可知：
Ａ．滑块始终与木板存在相对运动
Ｂ．滑块未能滑出木板
Ｃ．m＞M
Ｄ．在t1时刻滑块从木板上滑出
8．甲、乙两球在光滑的水平面上，沿同一直线同一方向运动，它们的动量分别为P甲=5kg·m/s，P乙=7kg·m/s，已知甲的速度大于乙的速度，当甲追上乙发生碰撞后，乙球的动量变为10kg·m/s，则甲、乙两球的质量m甲∶m乙的关系可能是：
Ａ．
=
Ｂ．=
Ｃ．=
Ｄ．=
9． 蹦极运动员将弹性长绳系在双脚上，弹性绳的另一端固定在高处的跳台上，运动员从跳台上跳下后，会在空中上下往复多次，最后停在空中．如果把运动员视为质点，忽略运动员起跳时的初速度和水平方向的运动，以运动员一长绳和地球作为一个系统，规定绳没有伸长时的弹性势能为零，以跳台处为重力势能的零点，运动员从跳台上跳下后，则：
Ａ．由于有机械能损失，第一次反弹后上升的最大高度一定低于跳台的高度
Ｂ．第一次下落到最低位置处系统的动能为零，弹性势能最大
Ｃ．跳下后系统动能最大时刻的弹性势能为零
Ｄ．最后运动员停在空中时，系统的机械能最小
10．如图6–2所示，一个轻弹簧竖直固定在地面上，在它的正上方H高处有一个铁球自由下落，落到弹簧上后将弹簧压缩．如果分别从H1和H2（H1＞H2）高处由静止释放铁球，铁球落到弹簧上将弹簧压缩的过程中获得的最大动能分别是Ek1和Ek2，在具有最大动能时刻的重力势能分别是Ep1和Ep2（以地面为参考面），则：
Ａ．EK1＝EK2，Ep1＝Ep2 Ｂ．EK1＞EK2，Ep1＝Ep2
Ｃ．EK1＞EK2，Ep1＞Ep2 Ｄ．EK1＞EK2，Ep1＜Ep2
11．两个质量相等的物体A和B，起初静止在光滑水平面上．现同时对它们施以水平拉力，对A先以拉力F1作用t秒，接着以拉力F2作用t秒；对B先以拉力F2作用t秒，接着以拉力F1作用t秒．F1和F2方向相同，但F1≠F2，则在拉力作用下的2t时间内：
Ａ．两物体发生的位移相同 Ｂ．两物体的动量变化相同
Ｃ．拉力对两物体做的功相等 Ｄ．拉力对物体做功的平均功率相等
12．如图6–5所示一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中：
Ａ．升降机的速度不断减小
Ｂ．升降机的加速度不断变大
Ｃ．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
Ｄ．到最低点时，升降机的加速度的值一定大于重力加速度的值
13．． 如图所示，劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物体2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态，现用力将物体1缓慢是竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中，物块2的重力势能增加了 ，物块1的重力势能增加了 .
14．．如右图所示，A、B间的圆弧线表示位于竖直面内的
圆周轨道，A端与圆心等高，B端在圆心的正下方，已知轨道半径R＝1.0m，一质量为1.0kg的小物块自A端由静 止开始沿轨道下滑，当它滑到B点时，其速度大小为3.0m/s，滑动摩擦力对小物块所做的功为
。
15．如图6–7所示，A、B用轻质弹簧连接，mA=2mB．现用力缓慢向左推B压缩弹簧，做功W．然后突然撤去外力，B从静止开始向右运动，从A开始运动以后的过程中，弹簧的弹性势能的最大值为_____________（摩擦力不计）
16．如图6–6所示，在弹簧下端悬挂一质量为m的物体，弹簧原长为L0，O为物体的平衡位置，现用手托着该物体，使它由弹簧原长处缓慢移至平衡位置，手的托力对物体所做的功的大小为W．现重新将此物体移至弹簧原长处并由静止开始释放，则物体下降至平衡位置时的速度大小为_____________．
17． 如图所示，斜面倾角为α，长为L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ。
18．在光滑斜面的底端静置一个物体，从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力F作用在物体上，使物体沿斜面向上滑去，经一段时间突然撤去这个力，又经过相同的时间物体又返回斜面的底部，且具有120J的动能。则：
（1）恒力F对物体所做的功为多少
（2）
撤去恒力F时，物体具有的动能为多少？
19．.水平轨道AB，在B点处与半径R=300m的光滑弧形轨道BC相切，一个质量M为0.99kg的木块静止在B处，现有一颗质量m为10g的子弹500m/s水平速度从左边射入木块且未穿出，如图所示.已知木块与该水平轨道AB间的摩擦因数μ=0.5，g取10m/s2.求：子弹射入木块后，木块需经过多长时间停止运动?(cos5°=0.996)
20．如图6–12所示，甲、乙两人各乘一辆冰车在山坡前的水平冰道上游戏，甲和他的冰车总质量为m1=40kg，从山坡上自由下滑到水平冰道上的速度v1=3m/s．乙和他的冰车总质量m2=60kg，以大小为v2=0.5m/s的速度与迎面来的甲相碰．两车不宜直接接触，为此甲必须用力将乙推开．问相碰时甲的推力对乙做功在什么范围内才能使两车分开，并且不再相碰？摩擦力忽略不计．
例2．解：A能追上B，说明碰前vA>vB,∴
；碰后A的速度不大于B的速度， 
；又因为碰撞过程系统动能不会增加，
，由以上不等式组解得：
例3．解：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。
在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：
由系统机械能守恒得：
解得
全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得
本题和上面分析的弹性碰撞基本相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。
例4．解：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如图所示，显然有s1-s2=d
对子弹用动能定理：
……①
对木块用动能定理：
……②
①、②相减得：
……③
这个式子的物理意义是：fžd恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见
，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。
由上式不难求得平均阻力的大小：
至于木块前进的距离s2，可以由以上②、③相比得出：
从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：
一般情况下
，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：
…④
当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔEK= f žd（这里的d为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔEK的大小。
做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。
例5．①f=2.5×104N，②P=4.25×105w
例6．解析】此题可分为三个物理过程来分析，即锤自由下落过程，锤桩相碰过程，锤桩共同打入土层过程。
在第一过程中，是锤自由下落至刚接触桩的顶部，设h=1.5米，由自由落体末速度公式可求出锤刚接触桩顶时的速度v为：
v2=2gh，∴v=
在第二过程中，当锤和桩相碰时，可把锤和桩看成一个系统，并且相碰后一起向下运动，是完全非弹性碰撞，于是有：(1)锤桩相碰时的冲力属于内力，这个内力远大于它们的重力和土层对它们的阻力，所以，在这个过程中可认为系统不受外力。(2)由于相碰时间很短很短，虽然桩已得到速度v1，但还未向下运动，可认为桩还在原地。(3)碰撞时有能量损失(变为声能，内能等)，所以，动能不守恒。综上分析，可以得到系统的动量守恒，即：
(m1+m2)v1=m1v
第三过程中，锤、桩以速度v1共同向下运动打入土层静止，在这一过程中，由于桩受到土层的阻力，运动物体要克服阻力做功，所以，这一过程中动能和动量都不守恒。设三次打入土层的深度L=0.01米，则每次打入的深度为L/3米。设土层的平均阻力为f,根据动能定理得：-f
=
(m1+m2)v21
由上面三个过程得到的三个方程式可得
v1=
-f=
(m1+m2)()2·2gh
=
=
(牛)
≈牛
即f=-牛。负值表示土层的阻力方向和桩运动方向相反。
例7解：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv0=(m+M)v；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能EP恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以EP是全过程摩擦生热Q的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔEK=Q=2EP
而
， ∴
至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。
例8．解：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式
知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能
，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，
例9．解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：
子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0= mv+Mv1……①
木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，
有：
……②
木块离开台面后的平抛阶段，
……③
由①、②、③可得μ=0.50
从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。
从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。
例10．解：电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以由Q=f d求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程。本题中设传送带速度一直是v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv2/2。因此有W=mv2+mgh。又由已知，在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，所以有
，vT=NL，带入后得到
。