物理图像的应用问题例说

由于物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、清晰地反映物理量间的函数关系，因此图像成为一种特殊且形象的数学语言和工具。用图像法解题不但快速、准确，而且可以避免繁杂的中间运算过程，甚至还可以解决用解析法无法解决的问题。

一、运用题目给定的图像解答物理问题

在运用题目给定的图像解答物理问题时，首先要做到：（1）看清坐标轴所表示的物理量，明确因变量（纵轴表示的量）与自变量（横轴表示的量）的制约关系；（2）看图线本身，识别两个相关量的变化趋势，从而分析具体的物理过程；（3）看交点，分清两相关量的变化范围及给出的相关条件，明确图线与图线、图线与坐标轴的交点（截距）、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义。

在看懂以上三个方面后，进一步弄清“图像与公式”、“图像与过程”、“图像与物理量”之间的联系与变通，以便对有关的物理问题作出准确的判断。

例1 （1998年全国）一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图1所示。已知此时质点F的运动方向向下，则（　　 ）

A、此波朝x轴负方向传播

B、质点D此时向下运动

C、质点B将比质点C先回到平衡位置

D、质点E的振幅为零

解析　波动图像本身有着特定的物理意义，由质点

的振动方向判断波传播方向，有多种不同的方法。从波的产生过程来看，可取G点为参考点，G点已达到下方最大位移，而F点向下运动，正处在向下方最大位移运动的过程中，因此可见F点的振动落后于G点，所以该横波向左传播，A正确。再根据波的传播方向，可判断其他各点的振动情况，B正确C不正确。在波动过程中，各点的振幅都一样，E点的振动位移虽为零，但振幅不为零，D不正确。

例2　如图2所示，直线a为电源路端电压U与电流I的关系图像，直线b为某电阻R两端电压U与电流I的关系图像。用该电源与电阻R组成闭合电路，电源的输出功率P及电源的效率η分别为（　　　）

A、P=4W，η=33%　　B、P=4W，η=67%

C、P=8W，η=33%　　D、P=8W，η=67%

解析　由图线a ，根据U=E – Ir可解出电源的电动

势E=6V、内阻r=1Ω；两图线的交点即为该电源与电阻

R组成闭合电路时的情景 ，即路端电压U=4V，回路中

的电流I=2A ，因此 ，电源消耗的总功率P_E=EI=12W，

输出功率P=UI=8W，效率η=P/P_E=67%，故选D。

　　当然，本题也可先求出电阻R，然后在闭合电路中进行求解。

例3　如图3甲所示，不计电阻的“　 ”形光滑导体框架水平放置，框架中间区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B=1T，有一导体棒AC横放在框架上，其质量为m=0.1kg，电阻为R=4Ω，现用轻绳拴住导体棒，轻绳的一端通过光滑的定滑轮绕在电动机的转轴上，另一端通过光滑的定滑轮与物体D相连，物体D的质量为M=0.3kg，电动机内阻为r=1Ω。接通电路后，电压表的读数恒为U=8V，电流表的读数恒为I=1A，电动机牵引原来静止的导体棒AC平行于EF向右运动，其运动情况如图乙所示。（取g=10m/s²）求：

（1）匀强磁场的宽度；

（2）导体棒在变速运动阶段产生的热量。

解析 （1）根据s—t图像可知，导体棒从静止开始，经过t=1s时间，上升h=0.8m后做匀速运动，匀速运动的速度大小可由图线的斜率求得

v=△s/△t=（0.8/0.4）（m/s）=2 m/s

在导体棒作匀速运动的任意时刻，对于整个系统根据功率关系可得

UI=Mgv+I²r+B²L²v²/R

解得磁场的宽度为L=√R（UI – Mgv – I²r）/B²v²=1m

（2）对于导体棒从静止到开始作匀速运动阶段，根据能量守恒对整个系统可得

UIt=Mgh+（1/2）（M+m）v² – I²rt+Q

解得在变速运动阶段，导体棒产生的热量为Q=3.8J

二、根据题设去作图、运用图像解答物理问题

在运用图像法求解物理问题时，还需要具有将物理现象转化为图像问题的能力。具体方法是：（1）认真审题，从题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定所需的横纵坐标表示的物理量（有时还需确定原点的坐标）；（2）根据题意，找出两个物理量的制约关系，结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图像；（3）由所作的图像结合题意，运用函数图像进行表达、分析和推理从而找出相应的变化规律，再结合相应的数学工具，求出相应的物理量。

例4　 （2003年广东、河南、江苏）关于一定质量的理想气体，下列说法正确的是（　　 ）

A、先等压膨胀，再等容降温，其温度必低于起始温度

B、先等温膨胀，再等压压缩，其体积必小于起始体积

C、先等容升温，再等压压缩，其温度有可能等于起始温度

D、先等容加热，再绝热压缩，其内能必大于起始内能

解析　本题若直接去分析气体状态变化的过程较为繁琐，

借助图像（如P—V）来分析可以使过程直观、明了。当然对D选项的分析，必须先理解绝热、理想气体的内能的概念，然后从热力学第一定律分析P、V、T的变化情况。（图4中仅绘制了选项A的情况，其它由读者分析完成）正确选项C、D。

例5　将一个质量为m的物体挂在一个劲度系数为k的弹簧下面，如果不考虑弹簧的质量和空气阻力，振动周期T=2π√m/k 。为了研究周期和振子质量的关系，设计了如图5甲实验装置，将弹簧的一端固定在铁架台上，另一端挂一只小盘，铁架台的竖杆上固定一个可以上下移动的标志物，作为计时标志，改变小盘中砝码的质量m ，

测量全振动50次的时间并求出相应的周期T。（实验中砝码始终不

离开盘底）某次实验得到下列数据：

m（10-3kg）	5.00	10.00	15.00	20.00	25.00	30.00
T（s）	0.854	0.896	0.936	0.970	1.008	1.042
T2（s2）	0.729	0.803	0.876	0.941	1.016	1.086

（1）在图5乙所给坐标系中作出T²—m图 。请回答为什么不用

T作为纵轴而用T²作为纵轴　　　　　　　　　　　　　 。

（2）根据图线求解弹簧的劲度系数为　　　　　　　　　　　 。

T²—m图线不过坐标原点（0，0）的原因是　　　　　　　　  。

解析 （1）将振动周期

T=2π√m/k变换成

T²=（4π²/k）m，

T²—m是线性关系，图线

为过原点的倾斜直线；而

T—m关系为曲线。

（2）由（1）知，图线

的斜率为4π²/k，选取图线

上两点，如（10.00×10^-3，

0.803）、（20.00×10^-3，

0.941），可求出图线的斜率

K=13.8，解得弹簧的劲度系

数k=2.86N/m。

（在2.50~3.00N/m内均正确）

对照实验装置与原理分析可知，T²—m图线不过原点的原因是没有考虑托盘的质量。　

例6  （1991年高考全国卷）如图6所示，在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m。当两球心间的距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于

L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远

离B球处以速度v₀沿两球连心线向原来静止的B球运

动，欲使两球不发生接触，v₀必须满足什么条件？

解析　在两球相距较远时，A球匀速运动，B球静止。当A球运动到离B球距离等于L之后，A球受恒定斥力F作用，做匀减速运动，而B球受斥力作用后由静止做匀加速运动，由于开始时A速度比B大，两球距离逐渐变小，当两球速度相等时，两球间距离最小，以后A球速度逐渐增大，两球间距离开始变大。要使两球不接触，就要使两球速度相等时的最小间距大于2r。

利用图像法求解。A、B两球从开始相互作用到相距最近时（具有共同速度v），它们的v—t图像如右图所示。

图中△OPM的面积是B球在这段时间内的位移大小，

梯形OMPN的面积是A球在这段时间内的位移大小，阴

影部分（△OPN）的面积就是AB两球运动的位移之差。

要使A、B两球不接触，阴影面积应小于L – 2r，即

　　（1/2）v₀t＜L- 2r

因A的加速度大小是B的加速度大小的2倍，即A

直线斜率的绝对值是B直线斜率的2倍，则有

　　（v₀ – v）/ t=2v/ t

又有B的加速度为v/ t=F/（2m）

由上述各式可解得：v₀＜√3F（L – 2r）/m

本题的解法较多，如用牛顿第二定律和运动学结合求解，用能量、动量的观点求解，相对运动的观点求解等等。

三、通过实现图像间的相互转换解答物理问题

在有些问题中，如果直接应用题中所给的图像分析问题不够直观或给理解带来较大的难度，这时，可通过实现图像间的相互转换，变抽象为直观、化隐为显。

例7 （1994年上海）一列沿x轴正向传播的简谐

波，在x₁=10cm和x₂=110cm处的两质点的振动图线如

图7所示。则质点振动的周期为　　　　s，这列简谐

波的波长为　　　　cm。

解析 从振动图像上可直接读出周期T=4s。

在求该简谐波的波长时，如果仍从振动图像入

手，理解上较困难。为此，可根据质点的振动

图像画出某一时刻（如t=0）一个周期内的波

形图，如右图所示，显然有nλ+（1/4）=100，

λ=400/（4n+1），n=0，1，2，……。

例8　如图8（甲）所示LC振荡电路中，通过P点的电流变化规律如图（乙）所示，把通过P点的向右的电流规定为（乙）图中坐标i的正方向，则下列说法中正确的是（　 ）

A.0.5s至1s内，电容器正在充电　　　　

B.0.5至1s内，电容器的上极板带正电　

C.1s至1.5内，Q点比P点电势高　　　 

D.1s至1.5s内，磁场能正在转变为电场能

解析 本题中如果直接从图像判断BC选项

比较困难，但如果能够将i—t图像转换为q—t

图像，问题便可迎刃而解了。

如图为电容器C上极板所带电量随时间的

变化图线（q—t）。由两图线结合很容易判断正确答案为AC。

例9　（2002广西、广东、河南）如图9甲所示A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）。在两板之间有一带负电的质点P。已知若在A、B间加电压U₀，则质点P可以静止平衡。

现在A、B间加上如图乙所示的随时间t变化的电压U， 在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0 ，已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图乙中U改变的各时刻t₁、t₂、t₃及t_n的表达式。（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次。）

解析　本题如果以常规解法求解，步骤较繁琐。如果结合图像分析，就可以使复杂的运动过程变得形象直观和简单。

设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有

qU₀/d=mg

当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，大小为a，则有

q2U₀/d – mg=ma

解得：a=g

当两板间的电压为0时，加速度为g，方向向下，P作自由下落或竖直上抛运动。当两板间的电压为2U₀时，加速度为g，方向向上，P作匀减速下落或匀加速竖直上升。

由两板间的电压为零和2U₀时加速度大小相等方向相反的变化规律知，当质点P到达A板后的运动规律为

由s=（1/2）at²，s=d/2得t=√d/g

它的v—t图像如右图所示：

由s=（1/2）at₁²，s=d/4得t₁=√d/2g

根据v—t图像得

t₂= t₁+2t=（√2+1）√d/g

t₃= t₂+2t=（√2+3）√d/g

t₄= t₃+2t=（√2+5）√d/g

t₅= t₄+2t=（√2+7）√d/g

……

t_n=（√2+2n - 3）√d/g　　（n＞2）

利用图像解题不仅使物理现象和物理过程更加直观和形象，而且使物理解题的过程更加简化，思路更加清晰，结果更加准确了。教学中，只有将此法自觉地渗透到教学中去才能更好地提高学生运用数学方法处理物理问题能力，适应高考的需要。

针对性练习：

1、（2003年广东、河南、江苏）如图（1），甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于x轴上，甲分子对乙分子的作用力与两分子间距离的关系如图中曲线所示，F₀为斥力，F₀为引力，a、b、c、d为x轴上四个特定的位置。现把乙分子从

a处由静止释放，则（　　 ）

A、乙分子从a到b做加速运动，由b到c做减速运动

B、乙分子由a到c做加速运动，到达c时速度最大

C、乙分子由a到b的过程中，两分子间的分子势能一直减少

D、乙分子由b到d的过程中，两分子间的分子势能一直增加

2、（1994年全国）图（2）中A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压u，A板的电势U_A＝0，B板的电势U_B随时间的变化规律为：在0到T/2的时间内，U_B＝U₀（正的常数）；在T/2到T的时间内，U_B＝－U₀；在T到3T/2的时间内，U_B＝U₀；在3T/2到2T的时间内，U_B＝－U₀……。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力的影响均可忽略（　　 ）

A、若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动；

B、若电子是在t＝T/8时刻进入的，它可能时而向B板

运动，时而向A板运动，最后打在B板上；

C、若电子是在t＝3T/8时刻进入的，它可能时而向B板

运动，时而向A板运动，最后打在B板上；

D、若电子是在t＝T/2时刻进入的，它可能时而向B板

运动，时而向A板运动，

3、一水平的传送带以速度v=2m/s匀速运行，传送带把A点处的零件运送到B点处，A、B两点之间相距L=10m，从A点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s，能送到B点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到B点，要让零件用最短的时间从A点传送到B点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如把求得的速率再提高一倍，则零件传送的时间为多少（g=10m/s²）？

4、（2000年全国）一小型发电机内的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴转动。线圈匝数n=100。穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间按正弦规律变化，如图（3）所示。发电机内阻r=5.0Ω，外电路电阻R=95Ω。已知感应电动势的最大值Em=nωΦ_m，其中Φ_m为穿过每匝线圈磁通量的最大值。求串联在外电路中的交流电流表（内阻不计的读数）。

5、（2003年广东、河南、江苏）图（4）甲所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连。已知有一质量为m₀的子弹B沿水平方向以速度v₀射入A内（未穿透）。接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动，在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图乙所示，已知子弹射入的时间极短，且图乙中t=0为A、B开始以相同速度运动的时刻，根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？

（参考答案：1、BC；2、AB；3、2√5m/s，2√5s；4、1.4A；5、m=F_m/6g – m₀  ，

l=36m₀²v₀²g/（5F_m²） ，E=3m₀²v₀²/F_m）