巧用v-t图像研究非匀速运动

在中学阶段常常遇到非匀变速运动的问题，而非匀变速运动的规律常常不能用公式来表示，因而研究非匀变速运动的问题时，往往会陷入“山穷水尽”的困境，但如果利用v-t图像来分析研究，就会“柳暗花明”。使问题得以顺利解决。

一、巧用速度图线的斜率，研究非匀变速运动

非匀变速运动的重要特征是速度。加速度是变化的。往往不能用公式来表示其变化规律，凭大脑很难想象出变化的过程，而v-t图像不仅能直接表示出速度的变化情况，也能直观的表示出速度图线的斜率——加速度的变化情况。巧用速度图线的斜率，能使复杂的非匀变速运动问题待以顺利解决。

例1 如图1所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧连接且静止于光滑水平面上，开始弹簧处于原长位置。现用水平恒力F推木块A，则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中(　 )

A.当A、B速度相同时，加速度a_A=a_B　　　B. 当A、B速度相同时，加速度a_A>a_B

C.当A、B加速度相同时，速度v_A<v_B

D.当A、B加速度相同时，速度v_A>v_B

设弹簧的压缩量为x，由受力分析可知，

　　　　　　　  F_A=F-kx　　　a_A=(F-kx)/m　　　　　　　　　　　　　　　　　 F_B=kx　　　　a_B=kx/m

而x随时间的增大而增大，最终不变。开始时物体的加速度a_A>a_B=0，以后a_A变小、a_B变大。两物体的速度都从零开始加速，A作加速度越来越小的加速运动，B作加速度越来越大的加速运动，当弹簧压缩到最短时两物体的速度相等。但根据上述分析还不能确定正确答案。若作出如图2所示的v——t图像，可直观地得到，两物体的速度相同时，如图t₂时刻A图线切线的斜率比B图线切线的斜率小，即a_A<a_B，故A、B都不正确。当两物体的加速度相同时，如图t₁时刻，过t₁的竖直线与A、B速度图线的交点切线的斜率相等，即加速度相同，这时v_A>v_B。故D正确。

二、巧用v-t图像的面积，研究非匀变速运动

作非匀变速运动的物体，速度、加速度随时间而变，要分析研究物体运动的位移，将遇到困难，但巧用v-t图线与时间轴所围面积，表示物体的位移，就能直观的表示出非匀变速运动的位移，从而提供了解决相关问题的方法。

例2　　如图3所示，AB和AC为两等高的光滑面，AB为斜面，AC为曲面，且=今从A处由静止释放一小物体，沿AB面运动时，到达B用时间为t₁；沿AC面运动时，到达C用时间为t₂。试比较t₁和t₂的大小。

解析：本题中，由于物体沿AC面运动过程中，其加速度的大小和方向均随时间而变化，一时无法建立运动学方程。就会感到束手无策。若定性分析并比较物体在AB、AC面的运动特性后，定性作出v——t图像，这里v表示物体的速率，t表示时间，则可以直观显示t₁和t₂的大小关系。

先比较物体沿AB、AC面运动的异同，然后定性作出图像。

(1)物体由静止下滑，初速度为零，所以图线都过原点；

(2)无摩擦，机械能守恒，所以末态的速率v₀相等；

(3)由于AB=AC，物体的路程相等，所以图线与时间轴所围面积相等；

(4)物体沿AB面下滑为匀加速运动，图线为直线，沿AC面下滑过程中，物体的切向加速度逐渐减小，且先有a_切>a_AB，后a_切<a_AB，图线为曲线。

定性作出满足以上四特点的v——t图像(速率——时间图像)，如图4所示，由图像可知t₁>t₂，即物体沿AC曲面下滑的时间少。

三、巧用v---t图像与其它图像的变换，研究非匀变速运动

一些复杂问题的非匀变速运动，单凭v-t图像还不能解决问题。若根据v-t图像画出其他的相关图像，就能解决相关问题。

例：物体以速度v₀=10m/s竖直上抛，落地速度v_t=9m/s.若阻力和物体速度成正比，求物体运动时间。（1986年全俄罗斯中学生物理奥林匹克竞赛八年级试题第4题）

此题要用高等数学积分求解或用初等数学微元法求解。但两种方法对中学生来说要求过高，而且较麻烦。巧用速度v-t图像，再变换成f-t图像，可迅速而巧妙解答此题。

由题意，可粗略的画出v-t图像。如图5所示。据v-t图像中速度图线与时间轴所围面积的物理意义可知，图中两块面积分别表示物体上升和下降的高度，虽然h_上=h_下，由于阻力f∝v，可见f-t图像与v-t图像的形状相似。如图所示，而在f-t图中，曲线下围成的面积的物理意义是阻力f的冲量。两块面积相等并分别居于t轴的上、下方，表明物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力的冲量大小相等，方向相反，所以物体在空气中运动时，空气阻力的总冲量为零，即有：

I_f=0…………………………………………………………………………（1）

对物体的全过程运用动量定理有：

mv_t+mv₀=mgt+I_f……………………………………………………………（2）

联解（1）（2），即得：t=（v₀+v_t）/g

代入数据可得t=1.94s

由上可知，巧用v——t图像的速度图线的斜率、与时间轴所围面积等分析非匀变速运动，可使问题的求解直观、快速、简捷。在分析时，先分析物体的受力情况，然后分析物体的运动特性，定性地作出v——t图像，在作图时，有时先作v——t图像，根据v——t图像,再作出其它图像,再由图像来分析解答有关问题。

巩固练习题

1. 甲、乙、丙三辆汽车以相同速度同时经过某一路标,从此时开始甲车一直做匀速直线运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们经过下一个路标时速度又相同.则

A.甲车先通过下一个路标　　　　　 B.乙车先通过下一个路标

C.丙车先通过下一个路标　　　　　 D.条件不足,无法判断.

2.甲、乙两人都从跑道的一端前往另一端，甲在一半时间内跑，另一半时间内走；乙在一半路程上跑，在另一半路程上走。他们跑或走的速度相同，则他们两人中先到达终点的是

A.甲

B.乙

C.甲、乙同时到达终点

D.无法确定

3.如图7所示，A、B是一对中间开有小孔的平行金属板，两小孔的连线与金属板面相垂直，两极板间的距离为L。两极板间加上低频交流电压，A板电势为零，B板电势u=U_O cosωt。现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场。设初速度和重力的影响均可忽略不计，则电子在两极板间可能(　 )

A.以AB间的某一点为平衡位置来回振动

B.时而向A板运动，时而向B板运动，但最后穿出B板

C.一直向B板运动，最后穿出B板，如果ω小于某个值ω_O，L小于某个值L_O 

D.一直向B板运动，最后穿出B板，而不论ω、L为何值

4.两支完全相同的光滑的直角弯管abc私a’b’c’,按如图8所示位置放置,现将两个质量完全相同的小球分别沿两管由静止滑下,设在直角转弯处均无能量损失.两球到达出口c和c’处的时间分别为t和t’,则(　 )

A. t＞t^’  B. .t＜t^’　　　　　　　　　　　　　　　　　　  C..t＝t^’ 　　　　　 D条件不足,无法判断.

答案：1.B;2.A;3.A、C;4。B.