动力学中的临界问题

在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法。

一、极限法

如果题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，以便解题。

例1　如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。

解析　当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力F_N竖直向上的分力等于A的重力时，地面对A的支持力F_NA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是水平力F为某一值时，恰好使A沿A与B的接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图2。

对整体有：；

隔离A，有：，，。

解得：

所以F的范围是0≤F≤

二、假设法

有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中不一定出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

例2　一斜面放在水平地面上，倾角，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图3所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s²的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。（g取10m/s²）

解析　斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s²，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a₀，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图4所示。易知

　　代入数据解得

因为＞，所以小球已离开斜面，斜面的支持力。

同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：

此时细绳拉力T与水平方向的夹角为：

三、数学方法

将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法求出临界条件。

例3　如图5所示，质量为的木块与水平地面的动摩擦因数，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？

解析　设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有

整理得

令，可知，当A取最大值时a最大。利用三角函数知识有：

，其中，而，与此相对应的角为

所以加速度的最大值为：

此时木块离定滑轮的水平距离为：

说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F、M、μ必须满足≤Mg。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。