高考物理证明题及其规范化要求示例

江苏省宜兴市官林中学　　许永敏　　214251

在高考物理考试说明的题型示例中，出现了公式证明题，在推理能力说明中又要求能够从有关物理概念和定律出发，在给定的简化情况下导出物理学中的定理或公式，且在考核内容和要求的说明中要求“掌握动量守恒定律及其推导过程、适用条件”和“掌握机械能守恒定律及其推导过程、适用条件”。而学生在解答证明题时，往往会出现两种典型情况：一是无从下手不能得分，二是“会做”但由于解答不规范而得分很少.

根据以上情况，07年高考我们一定要重视对证明题的规范化训练。在解答这类问题时，一般要先构建符合题意的物理模型（作出物理情境图形），再交待清楚所用的每个物理量的含义，要有过程分析，并说明所用的物理概念或规律.下面给出预测07高考物理证明题及其规范化要求示例.

【例1】某物体沿一固定斜面自由下滑过程中，在什么条件下其机械能守恒，并证明之.最后请你说明结论中各项的物理意义.

解：其机械能守恒条件是斜面必须是光滑的或不计摩擦力的作用.

如图所示，取斜面底部为零势能点，设质量为m的物体沿一固定光滑斜面自由下滑过程中，

　　经过位置1时离斜面底部高度为h₁，速度为V₁

　  经过位置2时离斜面底部高度为h₂，速度为V₂

　  由动能定理可知，重力所做的功等于动能增量：

　　　　 

　  因为重力做功等于重力势能减少量：

由①＝②得：　　　　　　　　　　　　　　　　　  即，E₁=E₂ .所以机械能守恒．

【例2】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．

证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，

向下做自由落体运动。在位置1时速度为v₁，高度为h₁，

在位置2时速度为v₂，高度为h₂

由匀加速运动公式可得：v₂²-v₁² = 2g(h₁-h₂)

　　　v₁²+2gh₁ = v₂²+2gh₂

　 　　　　　　　　　 mv₁²/2+mgh₁ = m v₂²/2+mgh₂

　　　　　  即，E₁=E₂ .所以机械能守恒．

以上提供了两种不同的证明方法：例1是由功能关系证明，例2是由运动学公式证明。

【例3】如图所示，弹簧的一端固定在墙上.另一端连结一质量为的木块，今将木块向右拉开一位移L后释放，木块在有摩擦的水平地面上减幅振动.弹簧第一次恢复原长时，木块速度为，试讨论：木块在整个振动过程中出现速度为的位置有几个.

分析和证明：在整个振动过程中出现速度为的位置有且只有2个.

释放木块后，木块在水平方向上的弹力和摩擦力同时作用下，先向左作加速度变小的加速运动.后向左作加速度变大的减速运动.在弹簧原长位置的右侧处（），一定存在一加速度为零的位置（平衡位置），此位置向左的速度最大.根据速度变化必须是连续的原理可知，既然左侧有一，其右侧也一定存在一的位置.

在弹簧第一次恢复原长，木块速度为时，系统振动的能量，此后的运动由于摩擦的作用，系统振动能量不断减小，，设此后振动中任一时刻的速率为

即

所以＜，且不断变小，直至停止振动为止.

【例4】求证在串联电路中：1．串联电路的总电阻，等于各导体的电阻之和；2．串联电路中各个电阻两端的电压跟它的阻值成正比；3．串联电路中各个电阻消耗的功率跟它的阻值成正比．

证明：1．根据流过串联电路各电阻的电流相等和串联电路两端的总电压等于各部分电路两端的电压之和，可得：I=I₁=I₂=……=I_n　　　　　　　　　　　　　　  　①

  　　U=U₁+U₂+……+U_n　　　　　　　　　　　　　　  　②

根据欧姆定律：U=IR，U₁=IR₁, U₂=IR₂，…… U_n=IR_n　　　　③

把上述关系式代入②式，整理后可得：R=R₁+R₂+……+R_n

2．由欧姆定律，将③式改写成

I=U/R,I₁=U₁/R₁,I₂=U₂/R₂, ……，I_n=U_n/R_n，代入①式得：

 U₁/R₁=U₂/R₂……=U_n/R_n =I，所以U∝R

3．由功率公式 :

P₁=I₁²R₁, P₂=I₂²R₂……， P_n=I_n²R_n，代入①式得：

P₁/R₁=P₂/R₂=……P_n/R_n=I²，所以P∝R

同理可求证在并联电路中：1．并联电路总电阻的倒数，等于各个导体的电阻倒数之和；2．并联电路中通过各导体的电流跟它的电阻成反比；3．并联电路中各个电阻消耗的功率跟它的阻值成反比．

【例5】证明：导体切割磁感线产生的电动势ε= BLv.

证明一：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L，以速度v在轨道上向右运动，设在Δt时间内棒由原来的位置ab移到cd，这时线框的面积变化量ΔS = LvΔt

穿过闭合电路的磁通量变化量：ΔΦ= BΔS = BLvΔt

由法拉第电磁感应定律：ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得：

导体切割磁感线产生的电动势：ε= BLv

证明二：如图所示，假设导体棒长L，以垂直导体棒的速度v水平向右

运动，有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为B

由左手定则可知：棒中自由电子e受洛仑兹力f = evB作用向下运动，

使棒上下端产生电势差ε，形成的电场强度大小为E =ε/L

　　当f = eE 时，棒中产生稳定的电动势：ε= BLv

【例6】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加．

证明：设一个质量为m的物体原来的速度为v₁，动能为mv₁²/2，在恒定的合外力F的作用下，发生一段位移s，速度为v₂，动能增加到mv₂²/2，设合外力方向与运动方向相同.

由运动学公式v₂²-v₁² =2as得：s = (v₂²-v₁²)/2a

合外力F做的功W = Fs，根据牛顿第二定律F = ma

所以Fs = ma(v₂²-v₁²)/2a = mv₂²/2- mv₁²/2

或W = E_K2- E_K1

【例7】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．

证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内自由电子数为n，通电时间为t

　　则在这段时间内，自由电子定向移动的距离为L = vt

　　通过导线截面的电量为q = enV = enSL = neSvt

所以电流为I = q/t = neSv

【例8】证明：洛仑兹力公式f = qvB.

证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n，每个自由电荷的电量是q，自由电荷的平均定向移动速率是v，导线的横截面积是S，那么通过导线的电流就是 I = nqvS

磁场对电流的作用力是F=ILB．这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f，这段导线内自由运动电荷的总数为N，则

Nf = F，即Nf = ILB

代入I = nqvS，得到Nf = nqvSLB

又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N = nSL

因此上式简化为f = qvB

【例9】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据，以及最后结果中各项的意义．

(2)人们常说“滴水穿石”，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小.

一瀑布落差为h=20m，水流量为Q=0.10m³/s，水的密度ρ=1.O×l0³kg/m³,水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零.(落在石头上的水立即流走，在讨论石头对水作用时可以不考虑水的重力，g取10m/s²).

解：(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F的作用下,

开始时物体的初速度为V₁,经过t时间后,物体的速度变为V₂

由牛顿第二定律得：　　　 ①

由运动学公式得: 　　 ②

由①②可得: ,由此式变形得:

式中:表示物体在t时间内物体受到合外力的冲量；表示物体在这段时间的末动量；表示物体在这段时间的初动量

(2) 设经Δt时间内落到石头上水的质量为m，落到与石头相碰前的速度为v

则m =ρQΔt　　　　　　　　　　　　  ③

由动能定理： 　　　　　　④

由动量定理：　　　　　　　  ⑤

由③④⑤得，

【例10】证明：万有引力定律F = GMm/r²

证明：设有两个孤立物体质量分别为M、m，相距较远间距为r，m围绕M作匀速圆周运动周期为T

M对m的万有引力F提供向心力：F = m(2π/T)²r　　　　　 ①

由开普勒第三定律： r³/ T² = 常数　　　　　　　　　　　  ②

由①②得：F = (2π)²m( r³/ T²) /r²　　　　　　 即F∝m/r²　　③

由牛顿第三定律可知：m对M的万有引力大小也为F，且具有相同的性质

所以，m对M的万有引力F∝M/r²　　　　　　　　　　　　④

综合③④得：F∝Mm/r²

　　万有引力定律F = GMm/r²　　(其中G为引力常量)

以上例题仅供示范参考，出现不同题目或类似题目要针对具体情况，根据题意周密思考，严密作答！