第十五讲　巧用万有引力定律解答天体问题

万有引力部分是高考的重点内容之一，近年来对这类题目的考查频率很高，几乎年年必考，但各年的考查各不相同，真可谓是千变万化，但他们在解法上有惊人相似之处，有时求两个天体之间的距离；有时求天体的质量或密度，有时又是求天体自转周期，当然还可以求公转周期，还可以求在某些天体表面上的动力学问题。解答这类题目的方法无非是运用了万有引力定律和牛顿第二定律，以及圆周运动的公式。还有近地（天体）的万有引力可近似等于其重力。这几类公式联立列式往往就能够求解。

典型例题

1．距离问题

【例1】（97全国）已知地球半径约为6.4×10⁶m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为　　　　　　　  m（结果只保留一位有效数字）.

　　【分析和解】本题解法较多，比较简单的是借用生活常识，即月球绕地球运动一周的时间约为30天，　合2.6×10^6­­s，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有

　　（M、m分别表示地球和月球的质量，r为月球到地心距离）①

　　对地球表面上质量为m^，物体，近似有（R为地球半径）②

　　①②式联立解得：

 2．周期问题

　　【例2】（01上海）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过这个速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为r，密度为ρ，质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是（　　　）

　　A．　  B．　　C．　　  D．　　

　　【分析和解】万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有

　　　　　　解得：

又质量　代入上式得，所以正确选项为AD

3．质量问题

【例3】（01全国理综）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M，已知地球半径为R＝6.4×10⁶m，地球质量m＝6.0×10²⁴Kg，日地中心距离r＝1.5×10¹¹m，地球表面处的重力加速度g＝10m/s²，1年约为3.2×10⁷s，试估算目前太阳的质量M。

【分析和解】地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定有

　　　……………………①

　　　又在地球表面附近的质量为m^.物体有　………………②

　　　①②联立解得：

　　　　

4．密度问题

【例4】（03全国理综）中子星是恒星演化过程中一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星，观察到它的自转周期为1/30s。问该中子星的最小密度应为多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（万有引力常数G＝6.67×10^-11N·m²/Kg²）

【分析和解】考虑中子星赤道一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星密度为ρ，质量为m，则有，又因为，由以上各式解得：

5．速度问题

【例5】俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，于2001年3月20日坠入太平洋，坠落时地面指挥系统使空间站在极短的时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力的作用下坠落。设该空间站在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动。地球表面的重力加速度g，地球半径为R。求该空间站做圆周运动时的线速度？

【分析和解】空间站绕地球作匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，得　（M、m分别为地球和空间站的质量）……①

又在地球表面附近的质量为m^‘体有　……②

①　　 ②联立解得：

6．加速度问题

　　【例6】经天文学家观察太阳在绕着银河系中心的圆轨道上运行，这个轨道半径约为3×10⁴光年（约等于2.8×10²⁰m），太阳作圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体引力，内侧所有星体总质量约为1.2×10¹⁴Kg，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题。（G＝6.67×10^-11N·m²/Kg²）试求出太阳在圆周轨道上运动的加速度？（保留两位有效数字）

【分析和解】设太阳绕银河系中心作匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，　（M为吸引太阳物质的总质量，m为太阳的质量）

解得：

7．重力加速度问题

【例7】（04全国理综）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳地停下来，假设着陆器第一次落到火星表面弹跳后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，求它第二次落到火星表面时的速度大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r，周期为T。火星可视为半径为r₀的均匀球体。

【分析和解】通过分析可得着陆器作斜上抛运动，设第二次落到火星表面时速度为v，它的竖直分量为v₁，竖直方向上作自由落体运动，则有；水平分量仍为v₀，则

……①

速度v₀和高度h都为已知量，则问题转化成了求火星表面重力加速度的问题，以g^‘表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m^’表示火星处某一物体的质量，则有：

　　　……②

m表示火星卫星质量，根据万有引力定律和牛顿第二定律：

　　　……③

②③联立解得代入①得

针对性训练

1．通信卫星的运行周期等于地球自转周期T。设地球质量为M，卫星质量为m，卫星离地高度为h，卫星运行速率为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律

……①

　　　　……②

由　得　……③

由①②③得：

由得

2．发射过程对卫星做功最小，则卫星运行时的机械能也最小，对应于近地卫星。

对地球赤道上空的近地卫星有，

卫星原来处于赤道上随地球自转的速度

因此，发射过程至少对卫星做功

3．（1）探月卫星的角速度为……①

周期为……②

：T＝2πt

（2）月球对卫星的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

　　　　  ……③

　　　　　 　　　 ……④

联立③④解得：