小学数学奥林匹克竞赛模拟题第二部分四节

四、谈谈余数

习题四

1、已知如下的36个自然数1，12，123，1234，…，；11，112，1123，11234，…，；21，212，2123，21234，…，；31，312，3123，31234，…，。(1)把这36个数相加，求所得和的末两位数；(2)把这36个数相乘，求所得乘积的末5位数。

2、求19¹⁹⁹¹+91¹⁹⁹¹的末两位数。

3、求5¹⁹⁹¹+4¹⁹⁹¹+3¹⁹⁹¹被11除所得的余数。

4、设n是任何一个给定的自然数，求n⁵-n的个位数。

5、(1)在前10000个自然数中，有多少个自然数n使2ⁿ-1是7的倍数？(2)在前10000个自然数中，有多少个自然数n使2ⁿ+1是7的倍数？

6、设给出菲波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，有关它的详细定义见例7。(1)设aⁿ是数列中第n个数，对下面给出n的哪些值，数列中第n个数aⁿ是8的倍数：n=61, 785, 1062。(2)求数列中前1991个数的和被4，5除所得余数各是多少？

7、求1×3×5×7×9×11×13×…×1991的最后两位数字。

8、一个学生扳手指头数数，按照下述规定进行：从中指开始数1，依次按食指、大拇指、食指、中指、无名指、小指、再折回无名指、中指，以下与此相同。问：他数到1991时扳的是哪个手指？

9、若干个数排成一行，开头两个数是1与3，从第二个数开始，每个数的4倍等于它左右两边两数之和。(1)求这个数列中第80个数及第123个数被3除的余数及被5除的余数。(2)1785与1988这两个数是否在这列数中？

10、下面5组数中只有一组数不是方程3785x-468y=121的解，请指出这组数来。

　　A、x=21257，y=171918； B、x=20321, y=164348； C、x=23597, y=190843；

　　D、x=22941, y=186737； E、x=22661, y=183273。

11、1991个1991依次连接起来成一个多位数，求这个数被7除的余数。

12、小明把如下12个数各写在一张纸条上，再把纸条捏成团，从中拣出一个纸团丢掉，把剩下的11个纸团分成两组，打开一看，甲组中的几个数是互不相同的奇数，且乙组中各数之和恰好是甲组各数之和的4倍，求：(1)丢掉的纸团上写的是哪个数？(2)甲组中有几个数？是哪几个数？那12个数是：5，6，7，9，10，11，11，11，11，12，12，14。

13、甲乙两人对一根7米长的木棍涂色，首先甲从木棍的一端开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，然后再涂黑5厘米，如此交替下去直到最后。然后，乙仍从同一端点开始，先留7厘米不涂色，接着涂黑7厘米，再留7厘米不涂色，这样交替到最后。最后按颜色分界线锯断，求共锯成多少段？其中没有涂色的木棍有多少段、总长是多少？