八、周期性问题(二)

　　　 　　 年级 　　 班　　  姓名　　  得分　　

　　一、填空题

　　1. 1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_____.

2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图：

　　　　　　　　　　　　　　　  ……

这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.

3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是_____色.

4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_____袋中.

5. 将数列1,4,7,10,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次编号,那么数列中的数349应排在第_____行第_____列.

　　1　 4　 7　10  13

　 28　25  22　19　16 

　　　 31　34  37　40　43

　 58　55  52　49　46

　　………………………………

　　………………………………

6．分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_____.

7. 化成小数后,小数点后面1993位上的数字是_____.

8. 在一个循环小数0.中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在_____和_____这两个数字上.

9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是_____.

10. 算式(367³⁶⁷+762⁷⁶²) 123¹²³的得数的尾数是_____.

二、解答题

11. 乘积1234……19901991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？

12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？

13．   共产党好共产党好共产党好……

社会主义好社会主义好社会主义好……

上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是_____.

14. 甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑5厘米,间隔5厘米不涂色,接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色,接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_____厘米.

—————————————————答 案————————————————————

1.　五

在这十年中有3个闰年,所以这10年的总天数是36510+3,365被7除余1,所以总天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.

2.　黑,26

根据图示可知,若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.

由(102-1)4=25…1，可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有

125+1=26(颗).

3.　黑

小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的,把它看成周期性问题,每个周期为15.

由199315=132…13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.

4.　B

通过观察可以发现,第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子相同,即当投的次数被10除余1,2,3,…，8，9，0，分别投进A，B，C，……D，C，B袋中，1992被10除余2，所以第1992粒珠子投在B袋中.

　　5.　24,2

这个数列从第2项起,每一项都比前一项多3,(349-1)3+1=117,所以349是这列数中的第117个数.

从排列可以看出,每两排为一个周期,每一周期有10个数.

因为11710=11…7，所以数“349”是第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.

6.　6

=

它的循环周期是6,因为1993=6332+1,所以化成小数后,其小数点后面第1993位上的数字是6.

7.　7

=

它的循环周期是6,因为(1993-1)6=332,则循环节“142857”恰好重复出现332次.所以小数点后面第1993位上的数字是7.

8.　3,7

表示循环小数的两个小圆点中,后一个小圆点显然应加在7的上面,且数字“5”肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，（100-4）3=32，第100位数字是7.设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，（100-3）4=24…1，第100位数字是4.设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（100-2）5=19…3，第100位数字正好是5.

[注]拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上,一下子难以确定,怎么办?唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5,就从数字5开始试.逐步向前移动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫,唯一的办法就是探索:先试一试这条,再试一试那条.

9.　2

由特例不难归纳出:

(1)9的连乘积的个位数字按9,1循环出现,周期为2；

(2)8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现,周期为4；

(3)7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现,周期为4.

因为1991=9952+1,所以1991个9的连乘积的个位数字是9；因为1990=4974+2，所以1990个8的连乘积的个位数字是4；因为1989=4974+1，所以1989个7的连乘积的个位数字是7.947的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2.

10.　9

7的连乘积,尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现,周期为4.因为367¸4=91…3，所以，367³⁶⁷的尾数为3.

2的连乘积,尾数以2,4,8,6循环出现,周期为4.因为762¸4=190…2，所以，762⁷⁶²的尾数为4.

3的连乘积,尾数以3,9,7,1循环出现,周期为4.123¸4

=30…3，所以，123¹²³的尾数为7.

 所以,(367³⁶⁷+762⁷⁶²)´123¹²³的尾数为(3+4)´7=49的尾数,所求答案为9.

11.　从1开始,将每10个数分为一组,每一组10个数从右到左第一个不等于零的数字是乘积12345678910=从右到左第一个不等于零的数字是8,1~1991可分为1~10，11~20，21~30，…，1981~1990，1991；8的连乘积末位数字8、4，2，6重复出现，1994=49…3，所以199个8相乘的末位数字是2，1991个位数字是1，所以，乘积123…19901991从右到左第一个不等于零的数字是2.

12.　因为第一个数=第二个数,所以第一个数：第二个数=：=3：10.又两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为：

3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055……

被3除所得的余数为：

0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，……按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.

因为19918=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.

[注]解答此题应注意以下两个问题:

(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数；

(2)求出这串数被3除所得的余数后,找出余数变化的周期,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被某一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.

13.　因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，

4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.

因为34020=17,所以第340组正好写完第17个周期,第340组是(好,好).

[注]此题从题面上看是一个文字游戏,其实质是一个周期的问题:

　　　　四个四个地数

0　 1　 2　 3　 4　 5　 6　 7　 8　 9　 10

　　　　　 五个五个地数

14.　根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进行；乙按白、黑，白、黑……交替进行，如下图所示.

由上图可知,甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即562=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现.并且在每一个周期中没有涂色的部分是

1+3+5+4+2=15(厘米)

所以,在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是

15´(300¸60)=75(厘米)

[注]请注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍,而不是5与6的最小公倍数.这是同学们容易犯的错误.