小学数学奥林匹克竞赛模拟题第二部分五节

五、平方米

习题五

　　1、证明：如果有整数a, b, c使得等式a²+b²=c²，那么a, b, c三数中至少有一个必是5的倍数。

　　2、证明：如果有整数a, b, c使得等式a²+b²=c², 又已知5不整除c，但3整除c。那么a、b中必有一个数是15的倍数。

　　3、是否有整数x, y使得等式x²-y²=4990成立？

　　4、如果a和b都是奇数，5a²-2b²能是平方数吗？

　　5、下列各数能否是平方数？

　　(1)(99…9)²(1991个9)-4×…12345(50个12345)

　　(2)……(1991位数)；

　　(3)…54321(1991个54321)。

　　6、如果一个整数被12除余5，它能不能是一个平方数？

　　7、对什么样的自然数n, n²+n=2(1)能被4整除？(2)能被8整除？(3)能被15整除？

　　8、证明：3个连续奇数的平方和加上1所得到的数能被12整除，但不能被24整除。

　　9、证明：不存在整除x、y使等式2x²-5²=7成立。

　　10、证明：不存在整数x, y使等式x²-3y²=41成立。

　　11、证明：任何5个连续整数的平方和不可能是平方数。

　　12、已经知道一个平方数的十位数字是7，那么这个平方数的个位数字是多少？

　　13、一个平方数的末尾能有几个4？

　　14、能不能找到6个整数，a, b, c, d, e, f, 使a⁴+b²+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴=1991成立呢？

　　15、设p是大于3的质数，证明p²-1能被24整除。