11 导数

一、选择题

1．（福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么

导函数的图象可能是（　A ）

2．（辽宁6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（　A  ）

A．　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　　　　 D．

3．（全国Ⅰ4）曲线在点处的切线的倾斜角为（　B　）

A．30°　　　　B．45°　　　　 C．60°　　　　D．120°

4．（全国Ⅱ7）设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（　A　）

A．1　　　 　 　B．　 　　　　　　 C．　　　　　　　D．

二、填空题

1．（北京13）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则_________；2

函数在处的导数_________．

2．（江苏14）对于总有成立，则=　　　　 4

三、解答题

1．（安徽20）（本小题满分12分）

设函数为实数。

（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

解: (1)  ，由于函数在时取得极值，所以

　　即

 (2) 方法一

　　由题设知：对任意都成立

　　即对任意都成立

　 设 , 则对任意，为单调递增函数

　 所以对任意，恒成立的充分必要条件是

　 即 ，

　 于是的取值范围是

　 方法二

　 由题设知：对任意都成立

　 即对任意都成立

　 于是对任意都成立，即

于是的取值范围是

2．（北京17）（本小题共13分）

已知函数，且是奇函数．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，

所以，对任意的，，即．

又

所以．

所以

解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

所以．

当时，由得．

变化时，的变化情况如下表：

		0		0

所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

当时，，所以函数在上单调递增．

3．(福建21)（本小题满分12分）

已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.

(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.

解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;

而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

X	(-∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

由此可得：

当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

4．（宁夏21）（本小题满分12分）

设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

21．解：

（Ⅰ）方程可化为．

当时，．···································································································· 2分

又，

于是解得

故．········································································································· 6分

（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

，

即．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．·············· 10分

所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为

．

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．　　 12分

5．（江西21）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．

解：（1）因为

令得　　　　　 

由时，在根的左右的符号如下表所示

		极小值		极大值		极小值

所以的递增区间为　　　　

的递减区间为　　　　　

（2）由（1）得到，

　　　　　　　　　　　　 

要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，　

即或.　　　　　　　　　　　　

6．（湖南21）已知函数有三个极值点。

（I）证明：；

（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

解：（I）因为函数有三个极值点,

所以有三个互异的实根.

　　　　设则

　　　　当时， 在上为增函数;

　　　　当时， 在上为减函数;

　　　　当时， 在上为增函数;

　　　 所以函数在时取极大值,在时取极小值.

　　　 当或时,最多只有两个不同实根.

　　　 因为有三个不同实根, 所以且.

　　　 即,且,

解得且故.

　　（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.

　　　　 不妨设为（），则

　　　　 所以的单调递减区间是,

　　　　 若在区间上单调递减，

则, 或,

　若,则.由（I）知，,于是

　若,则且.由（I）知，

　　　　 又当时，;

　　　　 当时，.

　　　　 因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.

综上所述, 的取值范围是.

7．（辽宁22）（本小题满分14分）

设函数在，处取得极值，且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

解：．①················································································ 2分

（Ⅰ）当时，

；

由题意知为方程的两根，所以

．

由，得．··························································································· 4分

从而，．

当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增．···································· 6分

（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，

所以．

从而，

由上式及题设知．························································································· 8分

考虑，

．········································································ 10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．

所以，即的取值范围为．··············································· 14分

8．（全国Ⅰ21）（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

解：（1）

求导：

当时，，

在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，

递增

（2），且

解得：

9．（全国Ⅱ21）（本小题满分12分）

设，函数．

（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；

（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

解：（Ⅰ）．

因为是函数的极值点，所以，即，因此．

经验证，当时，是函数的极值点．··············································· 4分

（Ⅱ）由题设，．

当在区间上的最大值为时，

，

即．

故得．··············································································································· 9分

反之，当时，对任意，

，

而，故在区间上的最大值为．

综上，的取值范围为．　　12分

10．(山东21)（本小题满分12分）

设函数，已知和为的极值点．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）讨论的单调性；

（Ⅲ）设，试比较与的大小．

解：（Ⅰ）因为

，

又和为的极值点，所以，

因此

解方程组得，．

（Ⅱ）因为，，

所以，

令，解得，，．

因为当时，；

当时，．

所以在和上是单调递增的；

在和上是单调递减的．

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，

故，

令，

则．

令，得，

因为时，，

所以在上单调递减．

故时，；

因为时，，

所以在上单调递增．

故时，．

所以对任意，恒有，又，

因此，

故对任意，恒有．

11．（四川20）（本小题满分12分）

  设和是函数的两个极值点。

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的单调区间

【解】：（Ⅰ）因为

由假设知：

　　　　　 

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

　　

当时，

当时，

因此的单调增区间是

的单调减区间是

12．(天津21)（本小题满分14分）

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

（Ⅰ）解：．

当时，

．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（Ⅲ）解：由条件可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

　　即

在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．

13．（浙江21）（本题15分）已知是实数，函数。

（Ⅰ）若，求的值及曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最大值。

（Ⅰ）解：，

因为，

所以．

又当时，，，

所以曲线在处的切线方程为．

（Ⅱ）解：令，解得，．

当，即时，在上单调递增，从而

．

当，即时，在上单调递减，从而

．

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而

综上所述，

14．（重庆19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）

　　　 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：

　　　（Ⅰ）a的值;

（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.

　 解：(Ⅰ)因

　　　　　　 所以

　　　　　　　　　　 

　　　　　　 即当

　　　　　　 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，

　　　　　　 所以

　　　　　　 解得

　　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

　　　　　　

15．(湖北17).（本小题满分12分）

　 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

　　当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		极大值		极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

16．(陕西22) 本小题满分14分）

设函数其中实数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；

（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．

解：（Ⅰ） ，又，

 当时，；当时，，

在和内是增函数，在内是减函数．

（Ⅱ）由题意知 ，

即恰有一根（含重根）． ≤，即≤≤，

又， ．

当时，才存在最小值，． ，

 ．　 的值域为．

（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．

由题意得，解得≥；

当时，在和内是增函数，在内是增函数．

由题意得，解得≤；

综上可知，实数的取值范围为．