08 立体几何

一、选择题

1．（安徽3）．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是省（　B　）

A．　　　　　　　　　　B．　　

C．　　　　　　D．

2．（北京8）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ B　）

3．(福建6)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则AC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值为（ D　）

A.　　　　　 B.　　　　

 C.　　　　 　 D.

4．（广东7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）

　　　　　　　　

5．（宁夏12）已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（　D　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

6．（湖南5）已知直线m,n和平面满足,则 (　D　)

　　  或　　　　　或

7．（湖南9）长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，

，则顶点A、B间的球面距离是(　B　 )

A．　　　 B．　 C．　　　 D．2

8．（江西9）．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ B ）

A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直

B．过直线有且只有一个平面与平面垂直

C．与直线垂直的直线不可能与平面平行

D．与直线平行的平面不可能与平面垂直

9．（辽宁12）在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线（　D　）

A．不存在　　　　　　B．有且只有两条　　　　 C．有且只有三条　　　　D．有无数条

10．（全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（　B　）

A．　　　　　　B．　　　　 C．　　　　 D．

11．（全国Ⅱ8）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（　B　）

A．3　　　　　　B．6　　　　　　C．9　　　　　　D．18

12．（全国Ⅱ12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（　C  ）

A．1　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．2

13．(山东6) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是（  D  ）

A．　　　　　B．　　　　

C．　　　　 D．

14．（上海13）给定空间中的直线l及平面．条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（　C　）

Ａ．充分非必要条件　　　　　　　　Ｂ．必要非充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　　　 Ｄ．既非充分又非必要条件

15．（四川８）设是球心的半径的中点，分别过作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )

（Ａ）　　　　 （Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　 （Ｄ）

16．（四川10）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：( B )

（Ａ）１条　　（Ｂ）２条　　（Ｃ）３条　　（Ｄ）４条

17．（四川12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )

（Ａ）　　　　 （Ｂ）　　　　　 （Ｃ）　　　　　（Ｄ）

18．(天津5) 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（　C  ）

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

_19．（浙江9）对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得 (　B  )

（A）　　　　　 （B）

（C）　　  　　 （D）

20．(重庆11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为　(  A　)

(A)模块①，②，⑤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)模块①，③，⑤

(C)模块②，④，⑥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D)模块③，④，⑤

21．(湖北4).用与球必距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为　(  D )

  A.　　　　　　　  B.　　　　　　 C.　　　　  D.

22．(陕西8)长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为(　C　)

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

23．(陕西10) 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D　 ）

A．　　　　　　　B．

C．　　　　　　　D．

二、填空题

1．（安徽16）已知点在同一个球面上,若

,则两点间的球面距离是　　　　　　 

2．（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为　　  ，则其外接球的表面积是　　 . 93．（广东15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.

4．（宁夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．

5．（江西15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为　　　　  ．5

6．（辽宁14）在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

7．（全国Ⅰ16）已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于　　　　　  ．

8．（全国Ⅱ16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

充要条件②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ．

（写出你认为正确的两个充要条件）

两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．

注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．

9．（浙江15）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于　　　 。

10．(天津13) 若一个球的体积为，则它的表面积为　　　　  ．

三、解答题

1．（安徽19）．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

方法一（综合法）

（1）

　　为异面直线与所成的角（或其补角）

　　　　　　　作连接

　　　　　　　

　　　　　

　　　　 ，

　　　　　　　　所以 与所成角的大小为

（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，

连接OP,过点A作 于点Q，

　　　　　 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

　　 ，

　　　　　　　　，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)设与所成的角为,

　 ,

与所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

　　　, .

所以点B到平面OCD的距离为

2．（北京16）（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

3．（福建19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），

∞〈、〉=，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x₀,y₀,x₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

则　　n·＝0，所以　　-x₀+ x₀=0_,

n·＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=x₀,　　　

取x₀=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

4．（广东18）（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.

(1)求线段PD的长；

(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.

解：（1）　BD是圆的直径

　　　　  　　　　又　,

　 ,　 ;

　(2 ) 在中，

　　 　

　　 　　又　

　　 　底面ABCD

　　　 

三棱锥的体积为

　　 .

5．（宁夏18）（本小题满分12分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）

（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：面．

解：（Ⅰ）如图

　　　　　　　　　　　　　  ···················································································· 3分

（Ⅱ）所求多面体体积

．··································································· 7分

（Ⅲ）证明：在长方体中，

连结，则．

因为分别为，中点，

所以，

从而．又平面，

所以面． 12分

6．（江苏16）（14分）

在四面体中，，且E、F分别是AB、BD的中点，

求证：（1）直线EF//面ACD

（2）面EFC⊥面BCD

【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，

考查空间想象能力、推理论证能力。

（1）∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD

又∵面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD

（2）

　

 

　　 

7．（江西20）如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）求证：⊥面；

（2）求二面角的大小．

解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，

则⊥。　　　　　　　

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。

因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，　　　　　　　

就是二面角的平面角。　　　 

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

　

所以

所以　　　 　

所以平面　　　　　 

由∥得∥，故：平面

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得

又是平面的一个法量

　　　　　　　

所以二面角的大小为　　　　　　　　 

8．（江苏选修）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．

解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,

 由，得，所以

　 

显然不是平角，所以为钝角等价于

 ，则等价于

即 ，得

因此，的取值范围是

9．（湖南18）（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.

解　　解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.

在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.

解法二　　如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，P()，E().

(Ⅰ)因为，平面PAB的一个法向量是＝(0,1,0)，所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),

设=(x₁,y₁,z₁)是平面PBE的一个法向量，则有

所以y₁=0,x_­1=z₁.故可取=(,0,1).

而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).

于是，cos＜,＞＝.

故二面角A-BE-P的大小是

10．（辽宁19）（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，

又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．·································································· 4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．······································································ 8分

（Ⅲ）解：设交于点，连结，

因为平面，

所以为与平面所成的角．

因为，所以分别为，，，的中点．

可知，．

所以．················································································ 12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．····································································· 4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．············································· 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由为中点可知，分别为，，的中点．

所以，，因此与平面所成角的正弦值等于

． 12分

11．（全国Ⅰ18）（本小题满分12分）

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设侧面为等边三角形，求二面角的大小．

解：（1）取中点，连接交于点，

，

，

又面面，

面，

．

，

，

，即，

面，

．

（2）在面内过点做的垂线，垂足为．

，，

面，

，

则即为所求二面角．

，，

，

，

则，

．

12．（全国Ⅱ20）（本小题满分12分）

如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解法一：

依题设，，．

（Ⅰ）连结交于点，则．

由三垂线定理知，．···················································································· 3分

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．

于是．

与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面．······························································································· 6分

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．································································· 8分

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小为．·························································· 12分

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，．·································· 3分

（Ⅰ）因为，，

故，．

又，

所以平面．······························································································· 6分

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．······························································ 9分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．························································· 12分

13．(山东19)（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

（Ⅰ）证明：在中，

由于，，，

所以．

故．

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

故平面平面．

（Ⅱ）解：过作交于，

由于平面平面，

所以平面．

因此为四棱锥的高，

又是边长为4的等边三角形．

因此．

在底面四边形中，，，

所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，

此即为梯形的高，

所以四边形的面积为．

故．

14．（上海16）(本题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体中，E是BC₁的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.

∵ EF⊥平面ABCD，

∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分

由题意，得EF=

∵ …………………………..8分

∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分

15．（四川19）（本小题满分12分）

　如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，

，，分别为的中点

（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；

（Ⅱ）四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设，证明：平面平面；

【解1】：（Ⅰ）由题意知，

所以

又，故

所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由，是的中点知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又点在直线上

所以四点共面。

（Ⅲ）连结，由，及知是正方形

故。由题设知两两垂直，故平面，

因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

【解2】：由平面平面，，得平面，

以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设，则由题设得

　　

所以

于是

又点不在直线上

所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由题设知，所以

又，故四点共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面

16．(天津19)（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以异面直线与所成的角的大小为．

（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．

由题设可得，

，，

，，

．

于是在中，．

所以二面角的大小为．

17．（浙江20）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？

方法一：

（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，

又为矩形，

所以，从而四边形为平行四边形，

故．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得

平面，

从而．

所以为二面角的平面角．

在中，因为，，所以，．

又因为，所以，

从而．

于是．

因为，

所以当为时，二面角的大小为．

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．

设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因为，，

所以，，从而

解得．

所以，．

设与平面垂直，

则，，

解得．

又因为平面，，

所以，

得到．

所以当为时，二面角的大小为．

18．（重庆20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）

　　　 如图（20）图， 为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求：

　　 （Ⅰ）点B到平面的距离;

（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.

解：（1）如答（20）图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=

.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sinBB′D

=.

（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin.

19．(湖北18).（本小题满分12分）

　 如图，在直三棱柱中，平面侧面

  （Ⅰ）求证：

　（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

　 (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=j.

　　  于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

　　　∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

　　　又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋j＝∠AA₁B＋j＝，故θ＋j＝.

　　　证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

,=(0,c,a)

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

20．(陕西19)（本小题满分12分）

三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解法一：（Ⅰ）平面平面，

．在中，，为中点

．又，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

为中点，点坐标为．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，如图可取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，

如图，令，则，

，

即二面角为为所求．