2008年高考数学试题分类汇编

圆锥曲线

一．　　　　 选择题：

1.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,若P为其上一点，且PF₁=2PF₂,则双曲线离心率的取值范围为B

A.(1,3)　　　　　　　　　B.　　　　　 C.(3,+)　　 D.

2.（海南卷11）已知点P在抛物线y² = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　A　）

A. （，－1）　　B. （，1）　　　C. （1，2）　 D. （1，－2）

3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①;　　②;　　 ③;　　　④＜.

其中正确式子的序号是B

A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　　 　C. ①④　　　　　　D. ②④

4.（湖南卷8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(　 B　 )

A.(1,2)　　　 B.(2,+) 　　C.(1,5)　 　 D. (5,+)

5.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C

A．　　　 B．　 C．　 D．

6.（辽宁卷10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A　 ）

A．　　　 B．　　　C．　　 D．

7.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（　B  ）

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．

8.（山东卷(10)设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C₂的标准方程为A

（A）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 (D)

9.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B　 ）

A．　　B．　　 C．　　D．

10.（四川卷12）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )

（Ａ）　　　　 （Ｂ）　　　　　 （Ｃ）　　　　　（Ｄ）

11.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为B

（A）　　（B）　 （C）　（D）

12.（浙江卷7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D

　　（A）3　　　　（B）5　　　　 （C）　　　　　 （D）

13.（浙江卷10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B

（A）圆　　　　　 （B）椭圆　　　　

（C）一条直线　　 （D）两条平行直线

14.（重庆卷(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为C

（A）－=1　　　　　　　　　 (B)

 (C)　　　　　　　　　　　　(D)

二．　　　　 填空题：

1.（海南卷14）过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______

2.（湖南卷12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于　　　　.

3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=　　　　  ．

4.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则　　　 ．

5.（全国一14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　　　　．2

6.（全国一15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率　　　　　 ．

7.（全国二15）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于　　　　．

8.（浙江卷12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。8

三．　　　　 解答题：

1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）

设椭圆过点，且着焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

解 (1)由题意：

　　　　 　，解得，所求椭圆方程为

(2)方法一

 设点Q、A、B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记,则且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是　　　　　 ，　　　

　　　　　　　 ，　　

从而

　　　 ，（1）　 ，（2）

又点A、B在椭圆C上，即

　　　　　  　　 

　（1）+（2）×2并结合（3），（4）得

即点总在定直线上

方法二

设点，由题设，均不为零。

且

又 四点共线，可设,于是

　　 　　 　　　　　　　　　 （1）

　　　　  　　　　　　　　　 （2）

由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程

整理得

　　  （3）

　　　 (4)

(4)－(3) 　　　得　

即点总在定直线上

2.（北京卷19）．（本小题共14分）

已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

3.（福建卷21）（本小题满分12分）

　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

　　解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

　　　　　　　  所以,

　　　　　 　　 即1＝

　　　　　　　  因此，椭圆方程为

　　　　　  (Ⅱ)设

　　　　　　 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

　　　　　　　 (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

　　　 　　　　　　 设直线AB的方程为：

　　　　　　　　　  整理得

　　　　　　　　　  所以

　　　　　　　　　  因为恒有，所以AOB恒为钝角.

　　　　　　  　　　即恒成立.

　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　 又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0对mR恒成立，

即a²b²m²> a² -a²b²+b²对mR恒成立.

当mR时，a²b²m²最小值为0，所以a²- a²b²+b²<0.

a²<a²b²- b^2, a²<( a²-1)b²= b⁴,

因为a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有OA²+OB²<AB²,2(1+y_A²)<4 y_A^2, y_A²>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x_1,y₁）, B（x_2,y2）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k^2- a² b²=0,

故x₁+x₂₌

因为恒有OA²+OB²<AB²,

所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,

得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k²

=(1+k²).

由题意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²<0对kR恒成立.

①当a²- a² b²+b²>0时，不合题意；

②当a²- a² b²+b²=0时，a=;

③当a²- a² b²+b²<0时，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,

解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

4.（广东卷18）．（本小题满分14分）

设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

【解析】（1）由得，

当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，

同理 以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，

即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

5.(湖北卷19).（本小题满分13分）

如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由　 解得a²=b²=2,

∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴　　　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E（x，y），F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S_△OEF，则有

　　　　③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴　　　

.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁-x₂｜=　　　　　 ③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

　　 　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.

6.（湖南卷20）.（本小题满分13分）

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与

x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）

存在无穷多条“相关弦”.给定x₀>2.

（I）证明：点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由.

解: （I）设AB为点P（x₀,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,则y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因为x₁x₂,所以y₁+y₂0.

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m, y_m）,则

k=.从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P（x₀,0）在直线上，所以

而于是故点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得　　 （·）

则是方程（·）的两个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

　　

因为0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是设t=,则t(0,4x₀-8).

记l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,则2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以当t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)时,

l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,则2(x₀-3)0,g(t)在区间（0，4 x₀-8）上是减函数，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

综上所述，

当x₀>3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值

为2（x₀-1）；当2< x₀3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

7.（江西卷21）．（本小题满分12分）

设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.

（1）求证：三点共线。

（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程.

证明：（1）设，由已知得到，且，，

设切线的方程为：由得

从而,解得

因此的方程为：

同理的方程为：

又在上，所以，

即点都在直线上

又也在直线上,所以三点共线

（2）垂线的方程为：，

由得垂足，

设重心

所以　　 解得

由 可得即为重心所在曲线方程

8.（辽宁卷20）．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有>．

20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．··················································································· 3分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．······································································· 5分

若，即．

而，

于是，

化简得，所以．············································································ 8分

（Ⅲ）

　　　　　　　　 

　　　　　　　　 

　　　　　　　　  ．

因为A在第一象限，故．由知，从而．又，

故，

即在题设条件下，恒有．··········································································· 12分

9.（全国一21）．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

解：（Ⅰ）设，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得,则离心率．

（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有,解得

故所求的双曲线方程为。

10.（全国二21）．（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．············································ 2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．··································································································· 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．································································ 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．····························· 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

···················································································································· 9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．·············································· 12分

11.（山东卷22)　(本小题满分14分)

如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：由题意设

　　　　　　　　　　 由得，则

　　　　　　　　　　 所以

　　　　　　　　　　 因此直线MA的方程为

　　　　　　　　直线MB的方程为

　　　　　　　　　　 所以　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　 ②

由①、②得　　

因此　，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时，

　　　　　　　　将其代入①、②并整理得：

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　所以　x₁、x₂是方程的两根，

　　　　　　　因此

　　　　　　　又

　　　　　　　所以

　　　　　　　由弦长公式得

　　　　　　　

　　　　又，

　　　　　　　所以p=1或p=2，

　　　　　　　因此所求抛物线方程为或

（Ⅲ）解：设D(x₃,y₃)，由题意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

　　　　　　　　则CD的中点坐标为

　　　　　　　　设直线AB的方程为

　　　　　　　　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

　　　　　　　　代入得

　　　　　　　　若D（x₃,y₃）在抛物线上，则

　　　　　　　　因此　x₃=0或x₃=2x₀.

　　　　　　　　即D(0，0)或

　　　　　　　（1）当x₀=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.

　　　　　　　（2）当，对于D(0，0)，此时

　　　　　　　　　又AB⊥CD，

所以

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.

12.（陕西卷20）．（本小题满分12分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

　　　 ．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．

13.（四川卷21）．（本小题满分12分）

设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。

【解】：由与，得

　 ，的方程为

设

则

由得

　　 ①

（Ⅰ）由，得

　　②

　　③

由①、②、③三式，消去，并求得

故

（Ⅱ）

当且仅当或时，取最小值

此时，

故与共线。

【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；

【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。

14.（天津卷22）（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得

，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得．

此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．

将上式代入③式得，整理得，．

解得或．

所以的取值范围是．

15.（浙江卷20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。

　　（Ⅰ）求曲线C的方程；

　　（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。

本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

（Ⅰ）解：设为上的点，则

，

到直线的距离为．

由题设得．

化简，得曲线的方程为．

（Ⅱ）解法一：

设，直线，则

，从而．

在中，因为

，

．

所以 .

，

．

当时，，

从而所求直线方程为．

解法二：设，直线，则，从而

．

过垂直于的直线．

因为，所以，

．

当时，，

从而所求直线方程为．

16.（重庆卷21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若,求点P的坐标.

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

　　　　　　 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴

b=，

　　　　　　 所以椭圆的方程为

　　　　 (Ⅱ)由得

　　　　　　 　　　　 ①

　　　　　　 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，

　　　　　　 　　　　 ②

　　　　　　 将①代入②，得

　　　　　　

　　　　　　 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.

　　　　　　 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以

　　　　　　 由方程组　　　 解得

　　　　　 　即P点坐标为