04 三角与向量

一、选择题

1．（安徽2）．若，,　则（　B　）

A．　　　 （1，1）　　　 B．（－1，－1）　 C．（3，7）　　　　　D．（-3,-7）

2．（安徽5）．在三角形中，,则的大小为（　A　）

A．　　　　　　　　　　B．　　　　 C．　　　　 D．

3．（安徽8）．函数图像的对称轴方程可能是（　D　）

A．　　　　　　　 B．　　　　C．　　　　　　D．

4．（北京4）已知中，，，，那么角等于（　C　）

A．　　　　　 B．　　　　　C．　　　　 D．

5．（福建7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为（　A ）

A.-sinx　　　　　  B.sinx　　　　  C.-cosx　　　　 D.cosx

6．(福建8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+c²-b²ac,则角B的值为（ A　）

A.　　　　　　 B.　　　　　 C.或　　 D.或

7．（广东3）已知平面向量a=(1,2), b=(-2,m), 且a∥b, 则2a+3b=　（ B ）

A.(-2,-4)　　　　　　　　　 B.(-3,-6)　　　　  C.(-4,-8)　　　D.(-5,-10)

8．（广东5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sin³x,x∈R, 则f(x)是　（ D ）

　A.最小正周期为的奇函数　　　　　　　　　　　　　　　　B.最小正周期为的偶函数

　C.最小正周期为的奇函数　　　　　　　　　　　　　　　 D.最小正周期为的偶函数

9．（宁夏5）已知平面向量，，与垂直，

则（　A　）

A．　　　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　　D．

10．（宁夏9）平面向量a，b共线的充要条件是（　D  ）

A．a，b方向相同

B．a，b两向量中至少有一个为零向量

C．，

D．存在不全为零的实数，，

11．（宁夏11）函数的最小值和最大值分别为（　C　）

A．，　　　　　　B．，　　　　　 C．，　　　　　D．，

12．（湖南7）在中，AB=3，AC=2，BC=，则 (　D　 )

A．　　　　B．　　C．　　　　  D．

13．（江西6）函数是（ A ）

A．以为周期的偶函数　　　　　　　　　  B．以为周期的奇函数

C．以为周期的偶函数　　　　　　　　　  D．以为周期的奇函数

14．（江西10）函数在区间内的图象是（ D ）

15．（辽宁5）已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（　A　）

A．　　　　　 B．　　　　C．　　　　　　　D．

16．（辽宁8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（　A　）

A．　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　 D．

17．（全国Ⅰ5） 在中，，．若点满足，则=（　A　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

18．（全国Ⅰ6）是（　D　）

A．最小正周期为的偶函数　　　　　B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 　　　　　D．最小正周期为的奇函数

19．（全国Ⅰ9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（  C　）

A．向左平移个长度单位　　　　　　　 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位　　　　　　 D．向右平移个长度单位

20．（全国Ⅱ1）若且是，则是（　C　）

A．第一象限角　　　　　　　　　 B． 第二象限角　　　　　C． 第三象限角　　　　　D． 第四象限角

21．（全国Ⅱ10）函数的最大值为（　B　）

A．1　 　　　　B． 　　　　　　 C．　 　　　　　 D．2

22．(山东8) 已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（　C　）

A．　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．

23．(山东10) 已知，则的值是（　 C　）

A．　　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　 D．

24．（四川3）设平面向量，则( A )

　（Ａ）　　　　　　（Ｂ）　　　　　　（Ｃ）　　　　　（Ｄ）

25．（四川4）( D )

　（Ａ）　　　　　　（Ｂ）　　　　　　（Ｃ）　　　　　（Ｄ）

26．（四川7）的三内角的对边边长分别为，若，则( B )

　（Ａ）　　　　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）

27．(天津6) 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（　C  ）

A．　　　　　B．

C．　　　　　D．

28．(天津9) 设，，，则（　D  ）

A．　　　　　　　B．　　　　C．　　　　　　　D．

29．（浙江2）函数的最小正周期是 (　B  )

　　（A）　　　　 （B）　　　　　 （C）　　　　 （D）

30．（浙江7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是　( C )

（A）0　　　　（B）1　　　　 （C）2　　　　  （D）4

31．（重庆12）函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是　(　C  )

(A)[-]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)[-]

(C)[-]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)[-]

32．(湖北1).设 ( C　)

A.　　　　　  B.0　　　　　　　 C.-3　　　　　　　 D.-11

33．(湖北7).将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是　(　A  )

  A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　  D.

34．(陕西1) 等于（　B　）

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

二、填空题

1．（北京9）若角的终边经过点，则的值为______________．

2．（北京11）已知向量与的夹角为，且，那么的值为________．

3．（湖南11）已知向量，，则=_____________________.2

4．（江苏1）最小正周期为，其中，则　　 　　 10

5．（江苏5）的夹角为，，则　　 　　 7

6．（江苏13）若，则的最大值　　 　　 

7．（江西16）如图，正六边形中，有下列四个命题：

A．

B．

C．

D．

其中真命题的代号是　　　　　　  （写出所有真命题的代号）．

8．（辽宁16）设，则函数的最小值为　　　　　 ．

9．（全国Ⅱ13）设向量，若向量与向量共线，则　　 ．2

10．（上海5）若向量，满足且与的夹角为，则　　　　．

11．(天津14) 已知平面向量，，若，则　　　　  ．

12．（浙江12）若，则_________。

13．（浙江14）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则 。

14．（浙江16）已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是　　　　  。

15．(湖北12).在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A＝　　　　　  .

16．(陕西13) 的内角的对边分别为，

若，则　　　．

17．(陕西15) 关于平面向量．有下列三个命题：

①若，则．②若，，则．

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中真命题的序号为　　②　　．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

1．（安徽17）．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数在区间上的值域

解：（1）

　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　 

　　　　　　　 

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以　 当时，取最大值 1

又　，当时，取最小值

所以 函数 在区间上的值域为

2．（北京15）（本小题共13分）

已知函数（）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

解：（Ⅰ）

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，

所以，

所以．

因此，即的取值范围为．

3．（福建17）（本小题满分12分）

已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值；

(Ⅱ)求函数R)的值域.

解：（Ⅰ）由题意得

m·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为xR,所以.

当时，f(x)有最大值，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，

所以所求函数f(x)的值域是

4．（广东16）（本小题满分13分）

已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1，其图像经过点M.

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α，β，且f(α)=，f(β)=，求f(α-β)的值.

解：（1）依题意知 A=1

　　　　  ，　 又　；

　　　　  　 　 即　

　　　　 因此  ；

　　 （2）　 ，

　　　　　　  且

　　　　 　 ，

　　　　  

5．（宁夏17）（本小题满分12分）

如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求．

解：（Ⅰ）因为，，

所以．

所以．···························································· 6分

（Ⅱ）在中，，

由正弦定理．

故．　12分

6．（江苏15）（14分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为

（1）求的值； （2）求的值。

【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数

的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，

考查运算求解能力。

由条件得

为锐角，

（1）

（2）

为锐角，

7．（江苏17）（14分）

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、

抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则，

故　

又，所以

所求函数关系式为

②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以

所求函数关系式为

（2）选择函数模型①，

令得　

当时，y是θ的减函数；当时，y是θ的增函数；

所以当时，

此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。

8．（江西17）已知，

（1）求的值；

（2）求函数的最大值．

解：（1）由

得，　　　　　 

于是=.　　　　　

（2）因为

所以　　　　　

　　　

的最大值为.　　　

9．（湖南17）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝cox²

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)当x₀∈(0,)且f(x₀)＝时，求f(x₀＋)的值.

解　　由题设有f(x)＝cosx＋sinx=.

(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期是T＝2x.

(Ⅱ)由f(x₀)＝得，即sin

因为x₀∈(0,)，所以

从而cos.

于是

10．（辽宁17）（本小题满分12分）

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又因为的面积等于，所以，得．···························· 4分

联立方程组解得，．······················································ 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为，·································································· 8分

联立方程组解得，．

所以的面积．······························································ 12分

11．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）

设的内角所对的边长分别为，且，．

（Ⅰ）求边长；

（Ⅱ）若的面积，求的周长．

解：（1）由与两式相除，有：

又通过知：，

则，，

则．

（2）由，得到．

由，

解得：，

最后．

12．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分）

在中，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，求的面积．

解：（Ⅰ）由，得，

由，得．······················································································· 2分

所以．··········································· 5分

（Ⅱ）由正弦定理得．·················································· 8分

所以的面积．························· 10分

13．(山东17)（本小题满分12分）

已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．

解：（Ⅰ）

．

因为为偶函数，

所以对，恒成立，

因此．

即，

整理得．

因为，且，

所以．

又因为，

故．

所以．

由题意得，所以．

故．

因此．

（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，

所以．

当（），

即（）时，单调递减，

因此的单调递减区间为（）．

14．（上海17）（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里

有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．

【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得

CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分

在中，……………6分

即…………………….9分

解得（米）. …………………………………………….13分

【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分

由题意，得CD=500（米），AD=300（米），………….4分

∴ AC=700（米）　　　　　　　　　　 …………………………..6分

………….…….9分

在直角

∴ （米）. ………………………13分

15．（上海18）（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．

已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线与函数的图像分别交于M、N两点．

（1）当时，求｜MN｜的值；

（2）求｜MN｜在时的最大值．

【解】（1）…………….2分

　　　　　　　　  ………………………………5分

　　　　 （2）

　　　　　　　　　 　　　　　…………...8分

　　　　　　　　　 …………………………….11分

　　　　　　  ∵ 　…………13分

　　　　　　 ∴ ｜MN｜的最大值为.　　　　　  ……………15分

16．（四川17）（本小题满分12分）

求函数的最大值与最小值。

【解】：

由于函数在中的最大值为

　

最小值为

　

故当时取得最大值，当时取得最小值

17．(天津17)（本小题满分12分）

已知函数的最小正周期是．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

（Ⅰ）解：

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　 ．

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．

当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．

18．（重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：

（Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）的值.

解：(Ⅰ)由余弦定理，

　　　　　   

　　　　 (Ⅱ)

　　　　　　

19．(湖北16).（本小题满12分）

　 已知函数

　（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；

  （Ⅱ）求函数上的最大值和最小值

解：(Ⅰ)f(x)=sinx+.

　　　故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝.

(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.

故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，

所以当x=π时，f(x)有最大值－2.

20．(陕西17)（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．