07 圆锥曲线

一、选择题

1．（北京3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（　A　）

A．充分而不必要条件　　　　　　　　　 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

2．（福建12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且PF₁=2PE₂，则双曲线离心率的取值范围为（ B　）

A.（1，3）　　B.（1，3）　　　　C.（3，+∞）　　D. [3，+∞]

3．（宁夏2）双曲线的焦距为（ D　）

A．　　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　D．

4．（湖南10）．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是(　C　 )

A．　　　　 B．　 C．　　  D．

5．（江西7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）

A．　　　 　　　B．　　　　　　 C．　　　　　D．

6．（辽宁11）已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（　D　）

A．1　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　　D．4

7．（全国Ⅱ11）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（　B　）

A．　　　　　B． 　　　　 C． 　　　　 D．

8．（上海12）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（　 D　 ）

A．4　　　　　　　B．5　　　　　　　C．8　　　　　　　D．10

9．（四川11）已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )

（Ａ）　　　　 （Ｂ）　　　　　 （Ｃ）　　　　　（Ｄ）

10．(天津7) 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（　B  ）

A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　D．

11．（浙江8）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( D )

　　（A）3　　　　（B）5　　　　 （C）　　　　　 （D）

12．(重庆8)若双曲线的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为(　C  )

(A)2　　　　　　　　　　　　　　 (B)3　　　　　　　　　　　　　　 (C)4　　　　　　　 　(D)4

13．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①②③④

其中正确式子的序号是　( B )

  A.①③　　　　　　　 B.②③　　　　　　 

C.①④　　　　　　　 D.②④

14．(陕西9) 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（　B　）

A．　　　　 B．　　　　　C．　　　　 D．

二、填空题

1．（安徽14）．已知双曲线的离心率是。则＝　　　　  4

2．（宁夏15）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为　　　　 ．

3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=　　 　　 

4．（江西14）已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为　　　　　  ．

5．（全国Ⅰ14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　　　　　  ．

6．（全国Ⅰ15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率　　　　　 ．

7．（全国Ⅱ15）已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于　　　　．2

8．(山东13) 已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为　　　　　 ．

9．（上海6）若直线经过抛物线的焦点，则实数　　　　　．-1

10．（浙江13）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点

　　　若，则=　　　　。8

三、解答题

1．（安徽22）．（本小题满分14分）

设椭圆其相应于焦点的准线方程为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：

　　　　;

 （Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值

解 ：（1）由题意得：

　　　　　　　　 　 椭圆的方程为

  (2)方法一：由（1）知是椭圆的左焦点，离心率

　　　　 设为椭圆的左准线。则

　　　　 作，与轴交于点H(如图)

　　　　 点A在椭圆上

　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　

　　　 同理

　　　 。

方法二：

　　  当时，记，则

　　　将其代入方程　 得

　　　设  ，则是此二次方程的两个根.

　　　

　　　

　　　　  　 ................(1)

　　　代入（1）式得　 　　........................(2)

　　　当时，　仍满足（2）式。

　　　

（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得

　　　　　　 　 ，

　　

　　当时，取得最小值

2．（北京19）（本小题共14分）

已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．

设两点坐标分别为．

由得．

所以．

又因为边上的高等于原点到直线的距离．

所以，．

（Ⅱ）设所在直线的方程为，

由得．

因为在椭圆上，

所以．

设两点坐标分别为，

则，，

所以．

又因为的长等于点到直线的距离，即．

所以．

所以当时，边最长，（这时）

此时所在直线的方程为．

3．(福建22)（本小题满分14分）

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

 (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值.

解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a²-c²=3,

所以椭圆C前方程为.

(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

设M(x₀,y₀),则有　n(x₀-1)-(m-1)y₀=0, ……②

n(x₀-4)+(m-4)y₀=0, ……③

由②，③得

x₀=.

所以点M恒在椭圆G上.

(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

设A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=

y₁-y₂=

令3t²+4=λ(λ≥4),则

y₁-y₂＝

因为λ≥4，0<

y₁-y₂有最大值3，此时AM过点F.

△AMN的面积S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）问解法一：

（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), 　　　　　　 ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,　　　　　　　　  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,　　　　　　　　  ……③

由②，③得：当≠.　　　　  ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

当x=时，由②，③得：

解得与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.

（Ⅱ）同解法一.

4．（广东20）（本小题满分14分）

设b0，椭圆方程为=1，抛物线方程为x­²=8(y-b).如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F_1.   

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A₁B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

解：（1）由得　

　　　　  当时，，G点的坐标为（4，b＋2）

　　　　  ，　

　　　　 过点G的切线方程为，即，

　　　　 令y＝0得  ，点的坐标为 （2-b，0）；

　　　 由椭圆方程得点的坐标为（b，0），

　　  　 即 b＝1，

　　 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和．

 （2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,

　　　以为直角的只有一个;

　　　同理以为直角的只有一个;

　　 若以为直角, 设P点的坐标为，则A、B坐标分别

为、

　　　由得，

　　 关于的一元二次方程有一解，x有二解，即以为直角的有二个;

　　 因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形．

5．（宁夏23）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）

已知曲线C₁：（为参数），曲线C₂：（t为参数）．

（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

（Ⅱ）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．

解：（Ⅰ）是圆，是直线．　　　2分

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点．····················································································· 4分

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）　：（t为参数）························· 8分

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．10分

6．（江西22）已知抛物线和三个点

，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．

（1）证明三点共线；

（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

（1）证明：设，

则直线的方程：　　　　

即：

因在上，所以①　　

又直线方程：

由得：

所以　　 

同理，

所以直线的方程：　　

令得

将①代入上式得，即点在直线上

所以三点共线　　　　　　　　　　　　　 

（2）解：由已知共线，所以　

以为直径的圆的方程：

由得

所以（舍去），　　  　 

要使圆与抛物线有异于的交点，则

所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点　

则，所以交点到的距离为　

7．(江苏选修)　在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．

解： 因椭圆的参数方程为

　　 故可设动点的坐标为，其中.

　　 因此

　　 所以。当是，取最大值2

8．（湖南19）(本小题满分13分)

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.

解　 （Ⅰ）设椭圆的方程为(a＞b＞0).

由条件知c=2,且=λ,所以a²=λ,

b²=a²-c²=λ-4.故椭圆的方程是

(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F²(x₀,y₀),则

解得

因为点F′(x₀,y₀)在椭圆上，所以即

λ(λ-4)k⁴+2λ(λ-6)k²+(λ-4)²=0.

设k²=t,则λ(λ-4)t²+2λ(λ-6)t+(λ-4)²=0.

因为λ＞4,所以＞0.

9．（辽宁21）．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．··················································································· 4分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．······································································· 6分

，即．

而，

于是．

所以时，，故．························································ 8分

当时，，．

，

而

，

所以．　 12分

10．（全国Ⅰ22）（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

解：（1）设，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得

则离心率．

（2）过直线方程为

与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有

解得

最后求得双曲线方程为：．

11．（全国Ⅱ22）（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．············································ 2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．··································································································· 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．································································ 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．····························· 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

···················································································································· 9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．　　 12分

12．(山东22．（本小题满分14分）

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．

（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

解：（Ⅰ）由题意得

又，

解得，．

因此所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，

．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，

所以，即，

因为是的垂直平分线，

所以直线的方程为，

即，

因此，

又，

所以，

故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）当存在且时，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

13．（上海20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知双曲线．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．

记．求的取值范围；

（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．

【解】（1）所求渐近线方程为　……………...3分

　　　 （2）设P的坐标为，则Q的坐标为， …………….4分

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ……………7分

　　　　　　　

　　　　　　　的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………9分

　　　 （3）若P为双曲线C上第一象限内的点，

　　　 则直线的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………11分

　　　 由计算可得，当

　　　 当　　　　　　　　　　　　　　　　……………15分

　　　 ∴ s表示为直线的斜率k的函数是….16分

14．（四川22）（本小题满分14分）

设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设是上的两个动点，，

证明：当取最小值时，

【解】：因为，到的距离，所以由题设得

　　　　　解得

由，得

（Ⅱ）由得，的方程为

故可设

由知知

得，所以

　

当且仅当时，上式取等号，此时

所以，

　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　 

15．(天津22)（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得

　 解得

所以双曲线的方程为．

（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得

．

此方程有两个不等实根，于是，且

．整理得

．　　　　③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线的方程为

．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得

．

整理得

，．

将上式代入③式得，

整理得

，．

解得或．

所以的取值范围是．

16．（浙江22）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。

　　（Ⅰ）求曲线C的方程；

　　（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。

（Ⅰ）解：设为上的点，则

，

到直线的距离为．

由题设得．

化简，得曲线的方程为．

（Ⅱ）解法一：

设，直线，则

，从而

．

在中，因为

，

．

所以 .

，

．

当时，，

从而所求直线方程为．

解法二：设，直线，则，从而

．

过垂直于的直线．

因为，所以，

．

当时，，

从而所求直线方程为．

17．（重庆21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

　　　　　　　　　　　　　　 

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;

（Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值.

解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,

所以双曲线的方程为x^2-=1.

(II)解法一：

由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=.

R所以双曲线的方程为x²-=1.

(II)解法一：

由（I）及答（21）图，易知PN1,因PM=2PN²,　　　 ①

知PM>PN,故P为双曲线右支上的点，所以PM=PN+2.　　 ②

将②代入①，得2PN²-PN-2=0，解得PN=,所以

PN=.

因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,

所以d=PN,因此

解法：

设P（x,y），因PN1知

PM=2PN²2PN>PN,

故P在双曲线右支上，所以x1.

由双曲线方程有y²=3x²-3.

因此

从而由PM=2PN²得

2x+1=2(4x²-4x+1)，即8x²-10x+1=0.

所以x=(舍去x=).

有PM=2x+1=

d=x-=.

故

18．(湖北20)（本小题满分13分）

　 已知双同线的两个焦点为

　 的曲线C上.

  （Ⅰ）求双曲线C的方程；

  （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

(Ⅰ)解法1：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4＝，

将点（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求双曲线方程为

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=PF₁－PF₂=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴

∴k∈(－)∪(1,).

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

EF=

=

而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈(－)∪(1,).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得

x₁－x₂＝.　　　③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF－S_ΔOQE=；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

综上得S_ΔOEF＝，于是

由OQ＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.

故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y=

18．(陕西21)（本小题满分12分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

　　　 ．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．