03 数列

一、选择题

1．（北京7）．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（　C  ）

A．30　　　　　 B．45　　　　　　　C．90　　　　　　D．186

2．（广东4）记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁=4,S₄=20,则该数列的公差d= （ B ）

A.7　　　　　　　  B.6　　　　　　 C.3　　　　  D.2

3．（宁夏8）设等比数列的公比q=2，前n项和为S_n，则=（　C　）

A．　　　　 B．　　　　　　C．　　　　　D．

4．（江西5）在数列中，， ，则 （ A ）

A．　　　B．　　　　 C．　　　D．

5．（全国Ⅰ7）已知等比数列满足，则（ A　）

A．64　　　　　　B．81　　　　　　C．128　　　　　D．243

6．（福建3）设是等差数列，若，则数列前8项和为（　C　）

Ａ．128　　　　 Ｂ．80　　　　　 Ｃ．64　　　　　 Ｄ．56

7．（上海14）若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（　B　）

Ａ．1 　　　　　　 Ｂ．2　　　　　 Ｃ．　　　　 Ｄ．

8．(天津4) 若等差数列的前5项和，且，则（　B  ）

A．12　　　　　　B．13　　　　　　C．14　　　　　　D．15

9．（浙江4）已知是等比数列，，则公比= (　D　)

（A）　　　　（B）　　　　（C）2　　　　  （D）

10．(重庆1)已知｛a_n｝为等差数列，a₂+a₈=12,则a₅等于　(  C　)

(A)4　　　　　 　(B)5　　　　　　　　　　　(C)6　　　　　　　　　　　(D)7

11．(陕西4) 已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ B　）

A．64　　　　　　B．100　　　　　C．110　　　　　D．120

二、填空题

1．（安徽15） 在数列在中，，，,其中为常数，则　　　　－1

2．（宁夏13）已知为等差数列，，，则　　　　  ．15

3．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：

　　　　　　　　　　　　 1

　　　　　　　　　　　  2 3

　　　　　　　　　　　 4 5 6

　　　　　　 　　　　 7 8 9 10

　　　　　　　　　  。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为　　 　　 

4．（四川16）设数列中，，

则通项 ___________。

三、解答题

1．（安徽21）（本小题满分12分）

设数列满足其中为实数，且

（Ⅰ）求数列的通项公式

（Ⅱ）设，,求数列的前项和；

（Ⅲ）若对任意成立，证明

解 (1) 方法一：

　　　

　　　 当时，是首项为，公比为的等比数列。

　　　，即 。当时，仍满足上式。

　　　数列的通项公式为 。

方法二

由题设得：当时，

时，也满足上式。

数列的通项公式为 。

　　 (2)　　由（1）得

　　　　　

 

(3)　　　 由（1）知

若，则

　

由对任意成立，知。下面证，用反证法

方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大

不能对恒成立，导致矛盾。。

方法二：假设，，

即  恒成立　　（＊）

为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾，

2．（北京20）（本小题共13分）

数列满足，（），是常数．

（Ⅰ）当时，求及的值；

（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．

解：（Ⅰ）由于，且．

所以当时，得，

故．

从而．

（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：

由，得

，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．

于是，．

这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．

所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．

因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，

记，则满足

．

故的取值范围是．

3．（福建20）（本小题满分12分）

已知｛a_n｝是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（nN*）在函数y=x²+1的图象上.

(Ⅰ)求数列｛a_n｝的通项公式；

(Ⅱ)若列数｛b_n｝满足b₁=1,b_n+1=b_n+，求证：b_n　　　 ·b_n+2＜b²_n+1.

解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故a_n=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ.

b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­···+（b₂-b₁）+b₁

=2^n-1+2^n-2+···+2+1

＝=2ⁿ-1.

因为b_n·b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²

=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2²ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹-1)

=-5·2ⁿ+4·2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n·b_n+2＜b,

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为b₂=1,

b_n·b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

　　　　　  =2ⁿ⁺¹·b_n-1-2ⁿ·b_n+1-2ⁿ·2ⁿ⁺¹

＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…

=2ⁿ（b₁-2）

=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1

4．（广东21）（本小题满分14分）

设数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n=(a_n-1+2a_n-2)(n=3,4,…)，数列{b_n}满足b₁=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1b_m+b_m+1+…+b_m+11.

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2) 记c_n=na_nb_n(n=1,2,…)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

解：（1）由得　　 

　　　　  又 ，

　　　  数列是首项为1公比为的等比数列，

　　　　　

　　　　

　　　　　  ，

　　由　　  得   ，由　　 得   ，…

　　同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；

当n为偶数时

当n为奇数时

　　 因此

当n为偶数时

当n为奇数时

　（2）

　　　

　　　当n为奇数时，

　　　　 

　　　　　 

　　 当n为偶数时，

　　　　　

令　　 ……①

①×得:　　 ……②

①-②得:　

　　　　　　  　　　

当n为偶数时

当n为奇数时

因此

5．（江苏19）（16分）

（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当时，求的数值；②求的所有可能值；

（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

　　 若删去，则，即化简得，得

若删去，则，即化简得，得

综上，得或。

②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。

若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)

综上所述，。

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得　 （*）

由知，与同时为0或同时不为0

当与同时为0时，有与题设矛盾。

故与同时不为0，所以由（*）得

因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。

于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如n项数列1，，，……，满足要求。

6．（江西19）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ．

(1)求与；

(2)求和：．

（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，

，　　　

依题意有①

解得或(舍去)　　　

故

（2）　

∴

　　

　　　　

7．（湖南20）数列满足

（I）求，并求数列的通项公式；

（II）设，，，

求使的所有k的值，并说明理由。

解：（I）因为所以

　　　　一般地, 当时，

　　　　即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，

　　　　因此

当时，

　　　　所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

　　　　故数列的通项公式为

　 （II）由（I）知，

　　　　

于是.

下面证明: 当时，事实上, 当时，

即

又所以当时，

故满足的所有k的值为3,4,5.

8．（辽宁20）（本小题满分12分）

在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．

解：（Ⅰ）是等比数列．·························································································· 2分

证明：设的公比为，的公比为，则

，故为等比数列．··········································· 5分

（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即

．···················································································· 7分

故对，，…，

．

于是

将代入得，，．································································ 10分

从而有．

所以数列的前项和为

．····················································································· 12分

9．（全国Ⅰ19）（本小题满分12分）

在数列中，，．

（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和．

解：（1），

，

，

则为等差数列，，

，．

（2）

两式相减，得

．

10．（全国Ⅱ18）（本小题满分12分）

等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

解：设数列的公差为，则

，

，

．····························································································· 3分

由成等比数列得，

即，

整理得，

解得或．···································································································· 7分

当时，．················································································· 9分

当时，，

于是．····················································· 12分

11．(山东20)（本小题满分12分）

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

　

　　

　　　

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

（Ⅰ）证明：由已知，当时，，

又，

所以，

即，

所以，

又．

所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

由上可知，

即．

所以当时，．

因此

（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，

因此．

又，

所以．

记表中第行所有项的和为，

则．

12．（上海21）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．

已知数列：，，，（是正整数），与数列

：，，，，（是正整数）．

记．

（1）若，求的值；

（2）求证：当是正整数时，；

（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．

【解】（1）

　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………..2分

　　　　　　　∵ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………..4分

【证明】（2）用数学归纳法证明：当

①　　 当n=1时，等式成立….6分

②　　 假设n=k时等式成立，即

那么当时，

………8分

　　　

　　　 等式也成立.

根据①和②可以断定：当…………………...10分

　　　 【解】（3）

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　 ………………………..13分

　　　　　　　　　　 ∵ 4m+1是奇数，均为负数，

　　　　　　　　　　 ∴ 这些项均不可能取到100.　　　　　 ………………………..15分

　　　　　　　　　　 此时，为100.　　  …………………………18分

13．（四川21）（本小题满分12分）

　设数列的前项和为，

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明： 是等比数列；

（Ⅲ）求的通项公式

【解】：（Ⅰ）因为，所以

由知

 

得 　　　①

所以

　　

（Ⅱ）由题设和①式知

　　

　　　　　　

　　　　　　

所以是首项为2，公比为2的等比数列。

（Ⅲ）

　　　　

14．(天津20)（本小题满分12分）

已知数列中，，，且．

（Ⅰ）设，证明是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

（Ⅰ）证明：由题设，得

，

即

．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

，

，

……

．

将以上各式相加，得．所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得

，　　　①

整理得，解得或（舍去）．于是

．

另一方面，

，

．

由①可得

．

所以对任意的，是与的等差中项．

15．（浙江18）（本题14分）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）数列的前项的和的公式。

（Ⅰ）解：由，得，

又，，且，得

，

解得，．

（Ⅱ）解：

．

16．（重庆22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）

　　　设各项均为正数的数列{a_n}满足.

　　 （Ⅰ）若求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）;

（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a₂的值.

解：（I）因a₁=2,a₂=2^-2,故

由此有a₁=2^(-2)0, a₂=2^(-2)4, a₃=2^(-2)2, a₄=2^(-2)3,

从而猜想a_n的通项为

,

所以a_2xn=.

(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.则a₂=2^x2,故只需求x₂的值。

　 设S_n表示x₂的前n项和，则a₁a₂…a_n=,由2≤a₁a₂…a_n＜4得

　 ≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2(n≥2).

因上式对n=2成立，可得≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥.

由于a₁=2，(n∈N*),得(n∈N*),即

，

因此数列｛x_n+1+2x_n｝是首项为x₂+2,公比为的等比数列，故

x_n+1+2x_n=(x₂+2) (n∈N*).

将上式对n求和得

S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2－)（n≥2）.

因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故

(x₂+2)(2－)＜5（n≥2）.

因此2x_2－1＜（n≥2）.

下证x₂≤，若淆，假设x₂＞，则由上式知，不等式

2^n－1＜

对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x₂≤.

又x₂≥，故z₂=，所以a₂=2=.

17．(湖北21).（本小题满分14分）

　　已知数列,其中为实数，为正整数.

　　（Ⅰ）证明：当

（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有

　　 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛a_n｝是等比数列，则有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：∵

　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又由上式知

故当数列｛b_n｝是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是

　　　

　　　　 当时，，从而上式仍成立.

　　　　 要使对任意正整数n , 都有

　　　　  即

　　　　  令

　　　　  当n为正奇数时，当n为正偶数时，

　　　　　

　　　　　 于是可得

　　　　　 综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

　　　　  的取值范围为

18．(陕西20)（本小题满分12分）

已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列的前项和．

解：（Ⅰ） ， ，

　　　　  ，又，，

　　　　  数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．

设…，　　 ①

则…，②

由①②得

　　　 …，

．又…．

数列的前项和 ．