高考数学串讲（六） 高考解题三引

　

在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面

我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.

一,引入函数

函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对

我们的解题工作带来很大的帮助.

问题1,(2005全国Ⅲ)若,,,则

 A.　　  B.　　　 C.　　  D.

问题2,若实数满足;.求证:.

问题3,(2005华师附中测试题)已知函数,.

(Ⅰ)若,求证:.

(Ⅱ)是否存在实数,使方程有四个不同的实根?若若存在,求出

的取值范围;若不存在,说明理由.设质

解答:

问题1,解析:由题之模型,我们引入函数,可得.

有(1)当时,,为增函数;(2)当时,,为减函数.

于是得,删除A,D又,知,于是选C.

问题2,分析:将所证的不等式作差变形得,由,

我们设,这样引入了函数,现考虑它的单调性即可.

解:由;.设,引入函数

,可得.

而,得,,得0.(在时取等号)

所以在上为减函数,得=1,

即,于是得.

问题3,解:(Ⅰ)令.

则=

由,得,知在上为增函数.

又在处连续,得在上为增函数,

而,得=0,即.

(Ⅱ)由原方程得 ①,令,并变形得 ②

要方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根.

令,它们的图象如右图所示

当两曲线在点=处相切时,由,

得,于是,得切点为,这时

切线方程为,即,

与轴的交点为,要两曲线在轴右边有两个不同交点,

则,即.

所以当时,原方程有四个不同的实根.

评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,从而为问题的解决带来了方便.

二,引入直角坐标系

　直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.

问题4.(2005山东)设满足约束条件,则使得目标函数的值最大的点()是　　　　　　　　 .

问题5.(2004湖北)如图,在中,已知.若长为

的线段以点A为中点,问与的夹角取何值时

的值最大?并求出这个最大值.

问题6.(2005天津)某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80

(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线,且点P在直

线上,与水平地面的夹角为,.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角

最大(不计此人的身高)?

问题7,(05重庆) 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；

（Ⅱ）二面角A—EB₁—A₁的平面角的正切值.

解答;

问题4,(2,3)　引入平面直角坐,解决线性规划问题.

问题5,解:如图,建立平面直角坐标系,设,

,则A(0,0),B(,.且,

.　设点,则.

由,

,.

得=.

又,得.于是.

故当,即(与同向)时,最大,其最大值为0.

问题6,解:如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0)

B(0,220),C(0,300).

直线的方程为,即.

设点,则.

由经过两点的直线的斜率公式得

,

.又由直线PC到直线PB的角的公式得

=.

要使达到最大,只须达到最小.由均值不等式得

.

当且仅当时,上式取得等号,故当时,最大.

这时,点P的纵坐标为.由此实际问题知,,

所以最大时,最大.

故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大.

问题7,解:（I）以B为原点,、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

由于BC=1，BB₁=2，AB=，∠BCC₁=，

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中有

　B（0，0，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），

设

　

又AB⊥面BCC₁B₁，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB₁的公垂线，

则，故异面直线AB、EB₁的距离为1.

（II）由已知有故二面角A—EB₁—A₁的平面角的大小为向量的夹角.

三,引入向量

　 向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.

问题8, 若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为　　　　　　　　　 .

问题9, 已知都是正数,且,,则函数的最小值是　　　　　　　 .

问题10,(04广东)如图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,

已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2. E、F分别是线段

AB、BC上的点，且EB= FB=1.

(I) 求二面角C—DE—C₁的正切值;

(II) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值.

解答

问题8,解:如图, 由,得

(1)当时,有,

得;

(2)当时,有,得.

问题9,由已知,我们作向量,则,

,.

又,得.

即,于是所求的最小值为1.

问题10,解: （I）以A为原点，

分别为x轴, y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,

则有D(0,3,0)、D₁(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C₁(4,3,2)

于是,

设向量与平面C₁DE垂直，则有

（II）设EC₁与FD₁所成角为β，则

.