高考数学串讲(共6讲)

2014-5-20 5:52:38 下载本试卷

高考数学串讲(六) 高考解题三引

 

在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面

我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.

,引入函数

函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对

我们的解题工作带来很大的帮助.

问题1,(2005全国Ⅲ)若,,,则

 A.    B.    C.    D.

问题2,若实数满足;.求证:.

问题3,(2005华师附中测试题)已知函数,.

(Ⅰ)若,求证:.

(Ⅱ)是否存在实数,使方程有四个不同的实根?若若存在,求出

的取值范围;若不存在,说明理由.设质

解答:

问题1,解析:由题之模型,我们引入函数,可得.

有(1)当时,,为增函数;(2)当时,,为减函数.

于是得,删除A,D又,知,于是选C.

问题2,分析:将所证的不等式作差变形得,由,

我们设,这样引入了函数,现考虑它的单调性即可.

解:由;.设,引入函数

,可得.

,得,,得0.(在时取等号)

所以上为减函数,得=1,

,于是得.

问题3,解:(Ⅰ)令.

=

,得,知上为增函数.

处连续,得上为增函数,

,得=0,即.

(Ⅱ)由原方程得 ①,令,并变形得

要方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根.

,它们的图象如右图所示

当两曲线在点=处相切时,由,

,于是,得切点为,这时

切线方程为,即,

轴的交点为,要两曲线在轴右边有两个不同交点,

,即.

所以当时,原方程有四个不同的实根.

评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,从而为问题的解决带来了方便.

二,引入直角坐标系

 直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.

问题4.(2005山东)设满足约束条件,则使得目标函数的值最大的点()是         .

问题5.(2004湖北)如图,在中,已知.若长为

的线段以点A为中点,问的夹角取何值时

的值最大?并求出这个最大值.

问题6.(2005天津)某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80

(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线,且点P在直

线上,与水平地面的夹角为,.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角

最大(不计此人的身高)?

问题7,(05重庆) 如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,求:

(Ⅰ)异面直线AB与EB1的距离;

(Ⅱ)二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.

解答;

问题4,(2,3) 引入平面直角坐,解决线性规划问题.

问题5,解:如图,建立平面直角坐标系,设,

,则A(0,0),B(,.且,

. 设点,则.

,

,.

=.

,得.于是.

故当,即(同向)时,最大,其最大值为0.

问题6,解:如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0)

B(0,220),C(0,300).

直线的方程为,即.

设点,则.

由经过两点的直线的斜率公式得

,

.又由直线PC到直线PB的角的公式得

=.

要使达到最大,只须达到最小.由均值不等式得

.

当且仅当时,上式取得等号,故当时,最大.

这时,点P的纵坐标.由此实际问题知,,

所以最大时,最大.

故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大.

问题7,解:(I)以B为原点,分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

 
由于BC=1,BB1=2,AB=,∠BCC1=

在三棱柱ABC—A1B1C1中有

 B(0,0,0),A(0,0,),B1(0,2,0),

 

又AB⊥面BCC1B1,故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线,

,故异面直线AB、EB1的距离为1.

(II)由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量的夹角.

三,引入向量

  向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.

问题8, 若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为          .

问题9, 已知都是正数,,,则函数的最小值是        .

问题10,(04广东)如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,

已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段

AB、BC上的点,且EB= FB=1.

(I) 求二面角C—DE—C1的正切值;

(II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.

解答

问题8,解:如图, 由,得

(1)当时,有,

;

(2)当时,有,得.

问题9,由已知,我们作向量,则,

,.

,得.

,于是所求的最小值为1.

问题10,解: (I)以A为原点,

分别为x轴, y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,

则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)

于是,

设向量与平面C1DE垂直,则有

(II)设EC1与FD1所成角为β,则

.