2004年浙江省高考数学卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

1．　  若U={1,2,3,4}，M={1,2}, N={2,3}, 则(MN)=
(A){1,2,3}　 (B){2}　　(C){1,3,4}　　(D){4}

2．　  点P从(1,0)出发，沿单位圆x²+y²=1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为
(A)(-,)　  (B) (--)　 (C)(-,-)　 (D)(-,)

3．　  已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁,a₃,a₄成等比数列，则a₂=
(A)-4　　 (B)-6　　 (C)-8　　  (D)-10

4．　  曲线y²=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
(A)y²=8-4x　 (B)y²=4x-8　 (C)y²=16-4x　　(D)y²=4x-16

5．　  设z=x-y, 式中变量x和y满足条件， 则z的最小值为
(A)1　　 (B)-1　　 (C)3　　 (D)-3

6．　  已知复数z₁=3+4i, z₂=t+i, 且是实数，则实数t=
(A)　　  (B)　　  (C)-　　  (D)-

7．　  若展开式中存在常数项，则n的值可以是
(A)8　　　(B)9　　　(C)10　　　(D)12

8．　  在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
(A)充分而不必要条件　　　(B)必要而不充分条件　
(C)充要条件　　　　　　  (D)既不充分也不必要条件

9．　  若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为
(A)　　(B)　　(C)　　 (D)

10．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为a，则a=
(A)　　(B)　　(C)　　 (D)

11．设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(A)　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　  (D)

12．若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x-f[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是
(A)x²+x-　 (B)x²+x+　 (C)x²-　 (D)x²+

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。

13．已知f(x)=,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________.

14．已知平面上三点A、B、C满足=3, =4, =5，则的值等于________.

15．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有__________种（用数字作答）.

16．已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PA⊥a，垂足为A，PB⊥b，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到l的距离为________.

三、解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。

17． (本题满分12分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cosA=
(Ⅰ)求sin²+cos2A的值；
(Ⅱ)若a=,求bc的最大值。

18．(本题满分12分)
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为x。
（1）求随机变量x的分布列；
（2）求随机变量x的期望Ex。

19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。
（1）求证AM//平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。

20．设曲线y=e^-x(x≥0)在点M(t,e^-t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的最大值。

21．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1，
（1）若直线AP的斜率为k，且kÎ[], 求实数m的取值范围；
（2）当m=+1时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程。

22．如图，△OBC的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P₁为线段BC的中点，P₂为线段CO的中点，P₃为线段OP₁的中点，对于每一个正整数n，P_n+3为线段P_nP_n+1的中点，令P_n的坐标为(x_n,y_n)，a_n=y_n+y_n+1+y_n+2.
（1）求a₁,a₂,a₃及a_n；
（2）证明,nÎN*;
（3）若记b_n=y_4n+4-y_4n,nÎN*，证明{b_n}是等比数列。

数学答案(理科)

一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1. D　2.A　　3.B　4.C　 5.A　 6.A　 7.C　 8.B　9.D  10.D　 11.C　 12.B

二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.

13. 　　　　　　14. 14　--25　15. 5　　 16. 　 

三.解答题:本大题共6小题,满分74分.

　17. (本题满分12分)

　解: (Ⅰ)

　　　　 =

　　　　=

　　　=

　　　　=

(Ⅱ) ∵

∴,

又∵

∴

 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

(18) (满分12分)

解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10。

随机变量ε的概率分布列如下

ε	2	3	4	6	7	10
P	0.09	0.24	0.16	0.18	0.24	0.09

　 随机变量ε的数学期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

(19) (满分12分)

 方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

　 ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中，

∴

∴二面角A—DF—B的大小为60º。

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，

PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点。

方法二

　 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

　　设，连接NE，

　　则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

　　∴NE=(,

　　又点A、M的坐标分别是

　（）、（

　∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF。

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF。

∴为平面DAF的法向量。

∵NE·DB=（·=0，

∴NE·NF=（·=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º。

即所求二面角A—DF—B的大小是60º。

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º。

∴

解得或（舍去），

即点P是AC的中点。

（20）（满分12分）

解：（Ⅰ）因为

 所以切线的斜率为

故切线的方程为即。

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,

又令x=0得

所以S（t）=

　　　　  =

从而

∵当（0，1）时，>0,

　当（1,+∞）时,<0,

所以S(t)的最大值为S(1)=

(21) (满分12分)

 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程

　即

因为点M到直线AP的距离为1,

∵

即.

∵

∴

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.

∴m的取值范围是

(Ⅱ)可设双曲线方程为

由

得.

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，（不妨设P在第一象限）

直线PQ方程为。

直线AP的方程y=x-1,

∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，

所以所求双曲线方程为

即

（22）（满分14分）

解：(Ⅰ)因为，

所以，又由题意可知

∴

　　　=

　　　=

　∴为常数列。

∴

(Ⅱ)将等式两边除以2，得

又∵

∴　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）∵

　　　　　　　　　　　　  =

　　　　　　　　　　　　 =

　　 又∵

∴是公比为的等比数列。