充分条件与必要条件·典型例题

2014-5-11 0:18:47 下载本试卷

充分条件与必要条件·典型例题

 

能力素质

 

例1 已知p:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:x1+x2=-5,则p是q的

[  ]

A.充分但不必要条件    B.必要但不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

分析 利用韦达定理转换.

解 ∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,

∴x1,x2的值分别为1,-6,

∴x1+x2=1-6=-5.

因此选A.

说明:判断命题为假命题可以通过举反例.

例2 p是q的充要条件的是

[  ]

A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5

B.p:a>2,b<2,q:a>b

C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形

D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一解

分析 逐个验证命题是否等价.

解 对A.p:x>1,q:x<1,所以,p是q的既不充分也不必要条件;

对B.pq但qp,p是q的充分非必要条件;

对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件;

说明:当a=0时,ax=0有无数个解.

例3 若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的

[  ]

A.充分条件     B.必要条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

分析 通过B、C作为桥梁联系A、D.

解 ∵A是B的充分条件,∴AB①

∵D是C成立的必要条件,∴CD②

由①③得AC④

由②④得AD.

∴D是A成立的必要条件.选B.

说明:要注意利用推出符号的传递性.

例4 设命题甲为:0<x<5,命题乙为x-2<3,那么甲是乙的

[  ]

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

分析 先解不等式再判定.

解 解不等式x-2<3得-1<x<5.

∵0<x<5-1<x<5,但-1<x<50<x<5

∴甲是乙的充分不必要条件,选A.

说明:一般情况下,如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.

当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.

例5 设A、B、C三个集合,为使A(B∪C),条件AB是

[  ]

A.充分条件     B.必要条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.

∴A(B∪C).

但是,当B=N,C=R,A=Z时,

显然A(B∪C),但AB不成立,

综上所述:“AB”“A(B∪C)”,而

“A(B∪C)”“AB”.

即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).选A.

说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.

例6 给出下列各组条件:

(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;

(2)p:xy≥0,q:x+y=x+y;

(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;

(4)p:x-1>2,q:x<-1.

其中p是q的充要条件的有

[  ]

A.1组  B.2组

C.3组  D.4组

分析 使用方程理论和不等式性质.

解 (1)p是q的必要条件

(2)p是q充要条件

(3)p是q的充分条件

(4)p是q的必要条件.选A.

说明:ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.

分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.

 

点击思维

 

例8 已知真命题“a≥bc>d”和“a<be≤f”,则“c≤d”是“e≤f”的________条件.

分析 ∵a≥bc>d(原命题),

∴c≤da<b(逆否命题).

而a<be≤f,

∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件.

答 填写“充分”.

说明:充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.

例9 ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是

[  ]

A.0<a≤1    B.a<1

C.a≤1  D.0<a≤1或a<0

分析 此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除法解之.当a=1时,方程有负根x=-1,当a=0时,x=

当a≠0时

综上所述a≤1.

即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

说明:特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.

例10 已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件?

分析 画出关系图1-21,观察求解.

解 s是q的充要条件;(srq,qs)

r是q的充要条件;(rq,qsr)

p是q的必要条件;(qsrp)

说明:图可以画的随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.

例11 关于x的不等式

分析 化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a.

解 A={x2a≤x≤a2+1},B={x(x-2)[x-(3a+1)]≤0}

B={x2≤x≤3a+1}.

B={x3a+1≤x≤2}

说明:集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理清思路,表达准确,推理无误.

 

学科渗透

 

要条件?

分析 将充要条件和不等式同解变形相联系.

说明:分类讨论要做到不重不漏.

例13 设α,β是方程x2-ax+b=0的两个实根,试分析a>2且b>1是两根α,β均大于1的什么条件?

分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系,解题时需

∴qp.

上述讨论可知:a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件.

说明:本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.

 

高考巡礼

 

例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么

[  ]

A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

分析1:由丙甲且乙丙,即丙是甲的充分不必要条件.

分析2:画图观察之.

答:选A.

说明:抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便