福建省诏安一中2007年高三教学质量检测

　　　　　　　  数 学 试 题（理科）　　　 2007.06.1

考试时间：120分钟 　　满分：150分　　 

一．选择题：每小题5分，共60分．

题　号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答　案	A	D	A	D	B	A	A	B	A	D	B	A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13．６人　　　14．（０，２）　　　 15．　　 16．2

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）解：（1）∵m⊥n，∴m·n＝0，∴cosA＋1－sinA＝0 （2分）

sinA－cosA＝1，sin（A－）＝　（4分）

∵0<A<π，  ∴－<A－<，A－＝，  ∴A＝　（6分）

（2）∵b＋c＝a，∴由正弦定理得：sinB＋sinC＝sinA＝　（8分）

∵B＋C＝，∴sinB＋sin（－B）＝·cosB＋sinB＝ （10分）

即sin（B＋）＝　（12分）

19．解：（1）∵∴　 ………………2分

又　 ∴ l方程为：，即：　…………4分

又与圆相切，　 ∴　　……………………6分

（2）　　 ∵

又　 ∴当；当

∴增区间为　 ……………………（12分）

19． 解法1：（I）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF//PC， 又EF平面PAC，而PC平面PAC

∴EF//平面PAC.……………4分

（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，

∴EB⊥PA，.

又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，

又AF平面PAB，∴AF⊥BE.

又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，……4分

又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，∴AF⊥平面PBE.

∵PE平面PBE，∴AF⊥PE.……………………8分

（Ⅲ）过A作AG⊥DE于G，连PG，

又∵DE⊥PA，则DE⊥平面PAG，

于是，平面PAG⊥平面PDE，它们的交线是PG，过A作AM⊥PG，垂足为M，则AM⊥平面PDE，即PA在平面PDE的射影是PM，所以PA与平面PDE所成的角是∠APG=45°.

∴在RtPAG中，PA=AG=1，∴DG=，………………10分

设BE=x，∵△AGE≌△ABE，则GE=x，CE=－x，

在Rt△DCE中，(+x)²=(－x)²+1²，得BE=x=－.……12分

解法二：（向量法）（I）同解法一…………………………4分

（II）建立图示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），

，设

，∴AF⊥PE………………8分

（Ⅲ）设平面PDE的法向量为

　

而=（0，0，1）依题意PA与平面PDE所成角为45°，

所以sin45°=，，

得BE=x=－，或BE=x=+（舍）.……………………12分

20．解：设初中x个班，高中y 个班，则……………（4分）

 设年利润为s，则……（6分）

　 作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.

　 由解得A（18，12）.……（10分）

　 （万元）.

　 即学校可规划初中18个班，高中12个班，

可获最大年利润为45.6万元.……（12分）

21．解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），

设c>0，c²＝a²－b²，由条件知－c＝＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y²＋＝1　（4分）

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4　　λ＝3　（6分）

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　（8分）

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，

∴3（）²＋4＝0整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　（10分）

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

由（*）式得k²>2m²－2，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－或<m<1

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）　（12分）

22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①

由f(x)=2x，得ax·2x=b+2x，即2ax²－2x－b=0只有一个x满足f(x)=2x，又a·b≠0，

则a≠0　∴△=4+8ab=0　 ②

由①②解得　a=………………………………（2分）

　 （2）当n≥2时，

 ∵当…………（6分）

∴当n≥2（n∈N*）时，S_n+a_n=n+2，则S_n－1+a_n－1=n+1

两式相减得：2a_n－a_n－1=1（n≥2），∴2(a_n－1)=a_n－1－1，即a_n－1=(a_n－1－1) （n≥2）

∴数列{a_n－1}是以为首项，以为公式的等比数列.

……………………（9分）

　 （3）