2006年北京市西城区高三抽样测试理科数学试卷

参考答案及评分标准

一. 选择题。

　1. C　　　　2. B　　　　　3. B　　　　　4. D

　5. A　　　　6. C　　　　　7. A　　　　　8. D

二. 填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）

　9. 　　　　　　　　 10.

　11. 　　　　　　12. 9；5

　13.

　14.

三. 解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）

　15. 解：（I）因为

　　所以………………2分

　　所以，………………5分

　　（II）

　　　 ………………9分

　　　 ………………11分

　　　 ………………13分

　16. 解法一：（I）设“3次均取得白球得3分”的事件为A，………………2分

　　则，………………4分

　　（II）从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球、1次红球；2次均为红球三种情况，所以，的可能取值为2、3、4。………………6分

　　而每次取得红球的概率为，每次取得白球的概率为，每次取球的情况是彼此独立的。

　　所以，

　　　  

　　　  ……………………10分

　　

………………11分

　　所以，………………13分

　17. 解法一：（I）在直三棱柱中，⊥平面ABC，所以⊥AC

　　因为，所以为正方形

　　又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC

　　所以AC⊥平面………………2分

　　连结，则为在平面上的射影

　　因为，所以………………4分

　　（II）因为面，所以BC∥面

　　所以点B到平面的距离等于点C到平面的距离………………6分

　　连结交于H，则

　　由于

　　所以⊥平面

　　所以CH⊥平面

　　所以CH的长度为点B到平面的距离

　　………………8分

　　（III）取中点D，连

　　因为是等腰三角形，所以

　　又平面，所以

　　所以平面………………10分

　　作DE⊥于E，连

　　则DE为在平面上的射影

　　所以，为二面角的平面角………………12分

　　由已知

　　所以

　　

　　即二面角的大小为60°………………14分

　　解法二：（I）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点。

　　依题意A（2，0，0），B（0，2，0），（0，2，2），（0，0，2）………………2分

　　因为

　　所以………………4分

　　（II）设是平面的法向量

　　由，得

　　，所以

　　令，则

　　因为

　　所以，B到平面的距离为………………8分

　　（III）设是平面的法向量

　　由，得

　　，所以

　　令，则………………10分

　　因为………………13分

　　所以，二面角的大小为60°。………………14分

　18. 解：（I）椭圆的右顶点为（2，0）………………1分

　　设（2，0）关于直线的对称点为，则

　　………………3分

　　解得：

　　所以

　　则，所求椭圆方程为………………4分

　　（II）设

　　由得：

　　所以

　　　 ………………5分

　　因为，即

　　所以………………6分

　　由<1><3>得：

　　代入<2>得：

　　整理得：………………9分

　　所以

　　所以………………11分

　　由于对称性，只需求时，△OAB的面积，

　　此时，

　　所以………………13分

　19. 证明：（I）当时，

………………1分

　　整理得：，所以是公比为a的等比数列

　　又，所以………………3分

　　（II）因为，

　　（i）当时，………………4分

　　　　　　　　　

………………5分

　　两式相减，整理得：………………7分

　　所以，………………9分

　　（ii）因为，所以，

　　当n为偶数时，；

　　当n为奇数时，。

　　所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数。

　　………………11分

　　当时，

　　所以

　　又，所以，当时，

　　即

　　当时，，即

　　即存在正整数，使得对于任意正整数n都有………………14分

　20. 解：（I）因为………………2分

　　所以，满足条件………………3分

　　又因为当时，，所以方程有实数根0。

　　所以函数是集合M中的元素。………………4分

　　（II）假设方程存在两个实数根

　　则………………5分

　　不妨设，根据题意存在实数

　　使得等式成立………………7分

　　因为，且，所以

　　与已知矛盾，所以方程只有一个实数根

………………9分

　　（III）不妨设，因为

　　所以为增函数，所以………………10分

　　又因为，所以函数为减函数

　　所以………………11分

　　所以

　　即………………12分

　　所以