数学文科:模拟试卷二

一、选择题　

　1. 已知复数z=(m-m-2)+(m-3m+2)i，对应点z位于复平面的虚轴上，

　　 则实数m等于（　　 ）

　　（Ａ） 1　　　　　　　　　　　　　  （Ｂ）-1

　　（Ｃ） 2　　　　　　　　　　　　　  （Ｄ）-1和2

2. 已知N={x｜x≤5}，，则下列关系中正确的是（　　 ）

　 （Ａ） a包含于N　　　　　　　 　 （Ｂ） a不属于N

　 （Ｃ） {a}∈N　　　　　　　　　　 （Ｄ） {a}真包含于N

3. 若函数 f(x)=log₂x+3 (x≥1) ，则 为（　　 ）

　（Ａ） (x∈R)　　　　　　　 （Ｂ） (x∈[3，+∞))

　（Ｃ）  (x∈R)　　　　　  （Ｄ）  (x∈[3，+∞))

4. 直线  在 y 轴上的截距是（　　 ）

　（Ａ） ｜b｜　　　　　　　　　　　 （Ｂ） ±b

　（Ｃ） b　　　　　　　　　　　　  （Ｄ） -b

5. 公比是  的数列是（　　 ）

　（Ａ）递增数列　　　　　　　　　  （Ｂ）递减数列

　（Ｃ）摆动数列　　　　　　　　　  （Ｄ）以上结论都不对

6. 已知a、b、c、d∈R，且a＞b，c＞d，下列不等式中一定成立的是（　　 ）

　（Ａ）a-c＞b-d　　　　　　　　 （Ｂ）＞

　（Ｃ）ac＞bd　　　　　　　　　  （Ｄ）a+c-b-d＞0

7. 函数 y=sinx-2cosx 的最小正周期是（　　 ）

　（Ａ） 2π　　　　　　　　　　  （Ｂ）

　（Ｃ） π　　　　　　　　　　　 （Ｄ）

8. sin20°cos70°+cos80°cos40°的值是（　　 ）

　（Ａ） 　　　（Ｂ） 　　　 （Ｃ）　　　 （Ｄ）

9. 下列四个命题

　(1) 若直线m∥平面α，平面α⊥平面β，则m⊥β。

　(2) 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ。

　(3) 若平面m⊥平面α，平面α⊥平面β，则m∥β。

　(4) 若平面α∥平面β，直线m在平面α内，则m∥β。

　　  其中正确命题的个数是（　　 ）

　（Ａ） 1个　　　　　　　　　　  （Ｂ） 2个

　（Ｃ） 3个　　　　　　　　　　  （Ｄ） 4个

10. 从6个男同学和4个女同学中选出3人参加数学竞赛，其中男生甲必须参加，

　　且选出3人中至少有一个女同学，共有选法的种数有（　　 ）

　（Ａ） 　　　　　　　　 （Ｂ）·

　（Ｃ） 　　　　　　　 （Ｄ） ··

11. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线  对称，则a等于（　　 ）

　（Ａ） 　　　　 （Ｂ） 　　　　　（Ｃ） 1　　　　　 （Ｄ） -1

12. 抛物线  的焦点坐标是（　　 ）

　（Ａ）　　 　　　　（Ｂ）(0，)

　（Ｃ）(，0)　　　　　 （Ｄ）(0，)

13. (a+b+c+d+e) 的展开式中，abc的系数是（　　 ）

　（Ａ） 10　　　　　　　　　　　　　 （Ｂ） 20

　（Ｃ） 24　　　　　　　　　　　　　 （Ｄ） 28

14. 在棱长为1的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，M和N分别为A₁B₁ 和BB₁ 的中点，

　　则直线AM和CN所成角的余弦是（　　 ）

　（Ａ） 　　　（Ｂ） 　　　 （Ｃ） 　　　 （Ｄ）

15. 要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形铁皮剪出它的侧面，

　　这样的长方形铁皮的最小长、宽尺寸为（　　 ）

　（Ａ） 　　　　　（Ｂ）

　（Ｃ） 　　　　　　　　（Ｄ）

二、填空题

16. 数列  (n=1,2,3…) 的各项和为 ( 　　)。

　（Ａ） 　　　　　　　　　　　　　 （Ｂ）

　（Ｃ） 　　　　　　　　　　　　　 （Ｄ）

　[解答]

 

17. 已知圆柱轴截面周长为 1，则圆柱的体积 V 的最大值为( 　　)。

　（Ａ） 　　　　　　　　　（Ｂ）

　（Ｃ） 　　　　　　　　　（Ｄ）

　[解答]

18. 已知tgx=-2，则 的值为( 　　)

　（Ａ） 　　　　　　　　（Ｂ）

　（Ｃ） 　　　　　　　　（Ｄ）  

　[解答]

19. 中心在原点，准线方程为y=±4，离心率为  的椭圆方程为( 　　)。

　（Ａ）　　　　　　　 （Ｂ）

　（Ｃ） 　　　　　　　（Ｄ）

　[解答]

 

三、解答题

20. 求函数的最小值。( 　　)

　（Ａ）　　  （Ｂ）　　　（Ｃ）　　　 （Ｄ）

　[解答]

　　　　

　　　

21. 满足实数，且z+3的辐角主值是  的虚数z是否存在?

　　若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由。

[解答]　

22. 如右图：四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形， 　　∠ABC等于60°， 　　PC⊥平面AC，PC=a，E是PA中点。

　(1) 求证：平面EDB⊥平面AC。

　[解答]

　

　(2) 求点E到平面PBC的距离( $S*C$ )。

（Ａ） 　　　　　　　 （Ｂ） 　（Ｃ） 　　　　　　　 （Ｄ）

 

 [解答]

　

　(3) 求二面角A—EB—D的正切值。( $S*D$ )

（Ａ） 　　　　　　　　　 （Ｂ） 　（Ｃ） 　　　　　　　　　 （Ｄ）

　[解答]

　

23. 炮弹的运行轨道若不计空气阻力是抛物线，现测得我炮位A与目标B的水平距离为

　　6000m，而当射程是6000m时，炮弹的运行轨道的最大高度是1200m，在A、B间距离

A点500m处有一高达350m的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物。

[解答]

24. 已知数列 {a_n} 中，S_n 是它的前 n 项和，并且S_n+1=4a_n+2 (n=1, 2,…),a₁=1

(1) 设b_n=a_n+1-2a_n。 (n=1,2,…)。求证数列 {b_n} 是等比数列；

　　[解答]

(2) 设  (n=1,2,…) 求证数列 {c_n} 是等差数列；

　[解答]

(3) 求数列 {a_n} 的通项公式及前n项和公式。

　　[解答]

25. 已知l₁、l₂ 是过点 P(,0) 的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲

　　线 y-x=1# 各自有两个交点，分别为A₁、B₁ 和A₂、B₂。

(1) 求l₁ 的斜率K₁ 的取值范围；( $J*1$ )

　∪∪∪()

　[解答]

　(2) 若A₁ 恰是双曲线的一个顶点，求 ｜A₂B₂｜的值。( $S*D$ )

　（Ａ）　　　 （Ｂ） 　　　 （Ｃ）　 　　　（Ｄ）

　　[解答]

参 考 答 案

一、

　1. B

　　[分析解题]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 m-m-2=0

　  由条件知z是纯虚数，则m应满足　　　　　　 得m=-1  ∴选（Ｂ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 m-3m+2≠0

　2. D

　

　3. B

　[分析解题]

　由 y-3=log₂x 得 ,又由原函数 x≥1 得 y≥3 。

　∴选（Ｂ）

　4. D

　[分析解答]

　化为截距式：.　∴选（Ｄ）

　5. D

　

　6. D

　7. A

　[分析解题]

　 ∵ ).∴T=2π.选（Ａ）

　8. A

　[分析解题]

　原式 = (sin90°-sin50°+cos120°+cos40°)

　　　 　　选（Ａ）

　9. A

10. D

 [分析解答] ∵男生甲必须参加，∴只须再选出2人，由条件至少有一个女生，因此只有一个女生参加的方法种数为 · ，有两个女生参加的方法种数 有·

　∴ 选（Ｄ）

11. D

　[分析解答]

　代值检验。把 a=-1 代入得 y=sin2x-cos2x=，由函数周期及图象可得  为其一条对称轴。其它值不符。∴选（Ｄ）

　12. C

　[分析解答]

　抛物线方程为 。开口向左，顶点.

　∴焦点 (,0) 。选（Ｃ）

　13. B

　[分析解答]

　 的系数为　 选（Ｂ）

　14. D

[分析解答] 如右图， 　作NE∥AM交AB于E，连CE，则∠ENC即为所求，在△NEC中，

　∴ 　∴

　 .  

　∴ .　 选（Ｄ）

15. D

　[分析解答]

如右图，铁皮长为扇形所在圆的直径12cm， 　∵扇形圆心角。　∴铁皮宽为半径6加上OA

　∵　∴宽为9cm。选（Ｄ）

二、

16. A

　[分析解答] ∵

　　　　　　 ∴ ．．．．．．

　　　　　　　  =

17. D

　[分析解答]　设圆柱底面半径为r，高为h。则有4r+2h=1.

　　　　　  　又 V=πr·h=πr·

　　　　　  　··2r·2r·(1-4r)≤ 。

　　　　　　  ∴最大体积为 π。

18. C

　[分析解答] 原式。

19. B

　[分析解答]　由条件知，椭圆焦点在y轴上

　　　　　　 

　　依题意：　　　　  => a=2，c=1，

　　　　　　 

　　∴椭圆方程为

 

三、

20. B

　[分析解答]原式=

　　　　　　  　 

　　　

　　 当时，y取最小值。

21. [分析解答]　设z=a+bi(a,b∈R),则z+3 = a+bi+3

依题意　(1)又 其虚部 　(2)

　　　　　　　　　　　　  a=-1　　　　　  a=-2

　由(1)、(2)求得　　　　　　　　  或　　　　　　　　　 即z=-1-2i

　　　　　　　　　　　　  b=-2　　　　　  b=-1

　或-2-i代入 z+3辐角主值不是 。 ∴ 这样的虚数z不存在。

22.

(1)

　[分析解答]

　证：如图，设AC与BD交于点O，连接EO，则EO∥PC，

　　　∵PC⊥平面AC。

　　　∴平面EDB⊥平面AC。

(2)

 

 [分析解答]

∵EO∥PC。∴EO∥平面PBC。∴点E到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离。 　作OH⊥BC于H。∵PC⊥平面AC。∴PC⊥OH。∴OH⊥平面PBC。 　由∠ABC=60°，AB=BC ∴∠OCB=60° ∴OH=OC·sin60°=·AC·sin60°=。  即点E到平面PBC的距离为= 　(3) 　[分析解答] 　∵平面EDB⊥平面AC，AO⊥BD，∴AO⊥平面EDB。 　作OH⊥EB于H，连结AH。则EB⊥AH。∴AHO即为 　二面角A—EB—D的平面角。 　∵，

　在△EOB中，由面积公式得：

　，且AO⊥OH，∴.

　∴二面角A—EB—D的正切值为。

23.

[分析解答] 如图建立坐标系。设抛物线方程为 。 　 则C点坐标为(3000，1200)代入方程 　∴(x-3000) =-2p(y-1200).又∵O(0,0)在抛物线上， 　　代入得p=3750. 　∴弹道抛物线方程为(x-3000) =-7500(y-1200)。

　　当x=500时，代入方程得y≈367(m)＞350(m).

　∴离炮位500米处的炮弹高度大于障碍物的高度。所以能越过障碍物。

24. (1)

　[分析解答]

　∵S_n+1=4a_n+2　S_n+2=4a_n+1+2 两式相减得：a_n+2=4a_n+1-4a_n 　即：a_n+2-2a_n+1=2(a_n+1-2a_n)　

　∴ 　　 ∵ b_n=a_n+1-2a_n　∴{b_n}是以2为公比的等比数列。

　又由S_n=4a₁+2, a₁=1, a₂=5得b₁=a₂-2a₁=3 ∴b_n=3·2

(2)　[分析解答]

　∵，∴

　。

　将·代入得。

　(n=1, 2…)　∴ {c_n}是以为公差的等差数列且.

　∴ 。

　(3)　[分析解答]

　∵

　∴a_n=2·c_n=(3n-1)·2. (n=1,2,…)

　又S_n=4a_n-1+2=4(3n-4)·2+2=(3n-4)·2+2

　当n=1时S₁=a₁=1适合此式

　∴S_n=(3n-4)·2+2(n∈N)

25.

(1) 对

　[分析解答]

　依题设，l₁, l₂的斜率都存在，因为l₁过且与双曲线有两个交点。

　故方程组 　y-x=1 (1)有两个不同的解

　消去y整理得： (2)

　若则方程组(1)只有一个解，与题设矛盾∴

　又时方程(2)的判别式为△₁=4(3k-1)

　同理可设l₂的斜率为k₂，可用同法得到

　△₂=4（3-1） （≠1）#。又k₁·k₂=-1

　于是l₁,l₂与双曲线各有两个交点，等价于 3 -1＞0

　

　-1＞0　　　　 ＜｜k₁｜＜

　　　　　　　　 解得

　k₁·k₂=-1　　　　 ｜k₁｜≠1

　｜k₁｜≠1 ∴k₁∈(，-1)∪(-1,)∪(,1)∪(1,)

　(2) D

　[分析解答]

　双曲线 y-x=1的顶点为(0，1)，(0，-1)

　取A₁(0,1)时，有，解得

　从而.

　记1₂与双曲线两交点为A₂(x₁,y₁)，B₂(x₂,y₂)。

　则由韦达定理可得｜A₂B₂｜.

　当取A₁(0,-1)时，由双曲线y-x=1的关于x轴的对称性，

　知｜A₂B₂｜.　　∴ L₁过双曲线的一个顶点时，｜A₂B₂｜.