全国高中数学联赛模拟试题(七)

（选题人：李潜）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有

（A）1条　　　　　　（B）2条　　　　（C）3条　　　　（D）无数条

2、已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x²+2x+3，则f(x)+g(x)=

（A）-x²+2x-3　　（B）x²+2x-3　　（C）-x²-2x+3　 （D）x²-2x+3

3、已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

（A）2　　　　　 （B）　　　　 （C）　　　 （D）

4、设x=0.82^0.5，y=sin1，z=log₃则x、y、z的大小关系是

（A）x＜y＜z　　 （B）y＜z＜x　　（C）z＜x＜y　　（D）z＜y＜x

5、整数的末尾两位数字是

（A）10　　　　　（B）01　　　　 （C）00　　　　 （D）20

6、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1，则(a²+b²,a³+b³)为

（A）1　　　　　 （B）2　　　　　（C）1或2　　　（D）可能大于2

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、若f(x)=x¹⁰+2x⁹-2x⁸-2x⁷+x⁶+3x²+6x+1，则f(-1)=　　　　　　　  ．

2、设F₁、F₂是双曲线x²-y²=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F₁引∠F₁PF₂平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是　　　　 ．

3、给定数列{x_n}，x₁=1，且，则x₁₉₉₉-x₆₀₁=　　　　  ．

4、　正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CD中点，F是BB₁中点，则四面体AD₁EF的体积是　　　　　　　　 ．

5、在坐标平面上，由条件所限定的平面区域的面积是　　　 ．

6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要　　　　  周．

三、（20分）

已知椭圆过定点A(1,0)，且焦点在x轴上，椭圆与曲线y=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足，求实数m的取值范围．

四、（20分）

　　　　　　a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a．

证明：≤＜2．

五、（20分）

　　　　　　已知f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx，满足

　　　　　　（i）a、b、c、d均大于0；

　　　　　　（ii）对于任一个x∈{-2, -1,0,1,2}，f(x)为整数；

　　　　　　（iii）f(1)=1,f(5)=70．

　　　　　　试说明，对于每个整数x，f(x)是否为整数．

第二试

一、（50分）

设K为△ABC的内心，点C₁、B₁分别为边AB、AC的中点，直线AC与C₁K交于点B₂，直线AB于B₁K交于点C₂．若△AB₂C₂于△ABC的面积相等，试求∠CAB．

二、（50分）

　　　　　　设，f(x)=(x-w)(x-w³)(x-w⁷)(x-w⁹)．

　　求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．

三、（50分）

在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6
答案	D	A	C	B	C	C

二、填空题：

　 1、4；　　　　　　　　　　　　　　　 2、x²+y²=4；

　 3、0；　　　　　　　　　　　　　　　 4、；

　 5、16；　　　　　　　　　　　　　　　6、5．

三、．

四、证略．

五、是．

第二试

一、60°；

二、证略．

三、100．