全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:58:02 下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(八)

(选题人:李潜)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、设logab是一个整数,且,给出下列四个结论

;         ②logab+logba=0;

③0<ab<1;          ④ab-1=0.

其中正确结论的个数是

(A)1      (B)2     (C)3     (D)4

2、若△ABC的三边长abc满足,则它的最大内角度数是

(A)150°    (B)120°   (C)90°    (D)60°

3、定长为l)的线段AB的两端点都在双曲线a>0,b>0),则AB中点M的横坐标的最小值为

(A)         (B)

(C)         (D)

4、在复平面上,曲线z4+z=1与圆z=1的交点个数为

(A)0      (B)1     (C)2     (D)3

5、设E={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)x≤10,y≥2,yx-4}是直角坐标平面上的两个点集,则集合G=所组成的图形面积是

(A)6      (B)2    (C)6.5    (D)7

6、正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于

(A)30°    (B)45°    (C)60°    (D)90°

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、已知,则的值等于    

2、=       

3、在Rt△ABC中,ABAC,以C为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在AB内,且椭圆过AB点,则这个椭圆的离心率等于   

4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有      种不同的选法.

5、设ab均为正数,且存在复数z满足,则ab的最大值等于       

6、使不等式对惟一的一个整数k成立的最大正整数n 

三、(20分)

已知实数xy满足x2+y2≤5.求f(x,y)=3x+y+4y+9+7y-3x-18的最大值与最小值.

四、(20分)

经过点M(2,-1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4),且P1P2P3P4四点的纵坐标依次成等差数列.

求证:

五、(20分)

n为正整数,r>0为实数.证明:方程xn+1+rxn-rn+1=0没有模为r的复数根.

第二试

一、(50分)

C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆,点DEF分别是从I出发垂直于边BCCAAB的直线C(I)的交点.

求证:ADBECF三线共点.

二、(50分)

      非负实数xyz满足x2+y2+z2=1.

      求证:1≤

三、(50分)

对由n个A,n个B和n个C排成的行,在其下面重新定义一行(比上面一行少一个字母),若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到变为一个字母为止.下面给出了n=2的一个例子.

A C  B C B  A

B A  A A C

C A  A B

B A  C

C B

A

求所有的正整数n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.


参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

A

B

D

A

D

D

二、填空题:

  1、;              2、

  3、;            4、816;

  5、;               6、112.

三、最大值,最小值

四、证略.

五、证略.

第二试

一、证略;

二、证略.

三、 n=1.