全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:58:03 下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(九)

(命题人:葛军)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、已知ns是整数.若不论n是什么整数,方程x2-8nx+7s=0没有整数解,则所有这样的数s的集合是

(A)奇数集           (B)所有形如6k+1的数集

(C)偶数集           (D)所有形如4k+3的数集

2、某个货场有1997辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装9箱货物,每相邻的4辆车装货总数为34箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是

(A)16966    (B)16975   (C)16984   (D)17009

3、非常数数列{ai}满足,且i=0,1,2,…,n.对于给定的自然数na1=an+1=1,则等于

(A)2      (B)-1     (C)1      (D)0

4、已知是方程ax2+bx+c=0(abc为实数)的两根,且是虚数,是实数,则的值是

(A)1      (B)2     (C)0      (D)i

5、已知a+b+c=abc,则A的值是

(A)3      (B)-3    (C)4      (D)-4

6、对xi∈{1,2,…,n},i=1,2,…,n,有x1x2xn=n!,使x1,x2,…,xn,一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n

(A)4      (B)6     (C)8      (D)9

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、设点P是凸多边形A1A2An内一点,点P到直线A1A2的距离为h1,到直线A2A3的距离为h2,…,到直线An-1An的距离为hn-1,到直线AnA1的距离为hn.若存在点P使ai=AiAi+1i=1,2,…,n-1,an=AnA1)取得最小值,则此凸多边形一定符合条件     

2、已知a为自然数,存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式,它有两个小于1的不同正根.那么,a的最小值是    

3、已知aRa≠0.那么,对于任意的aF(a,)的最大值和最小值分别是         

4、已知t>0,关于x的方程为,则这个方程有相异实根的个数情况是   

      

5、已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n},可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z,则满足上述要求的两个最小的正整数n      

6、任给一个自然数k,一定存在整数n,使得xn+x+1被xk+x+1整除,则这样的有序实数对(n,k)是(对于给定的k       

三、(20分)

      过正方体的某条对角线的截面面积为S,试求之值.

四、(20分)

数列{an}定义如下:a1=3,an=n≥2).试求ann≥2)的末位数.

五、(20分)

      已知abcR+,且a+b+c=1.

      证明:a2+b2+c2+4abc<1.

第二试

一、(50分)

已知△ABC中,内心为I,外接圆为⊙O,点B关于⊙O的对径点为K,在AB的延长线上取点NCB的延长线上取M,使得MC=NA=ss为△ABC的半周长.证明:IKMN

二、(50分)

M是平面上所有点(x,y)的集合,其中xy均是整数,且1≤x≤12,1≤y≤13.证明:不少于49个点的M的每一个子集,必包含一个矩形的4个顶点,且此矩形的边平行于坐标轴.

三、(50分)

实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b<0,ab=9c.试判别此多项式是否有三个不同的实根,说明理由.

参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

B

D

C

C

C

二、填空题:

  1、该凸多边形存在内切圆;    2、5;

  3、;        4、9;

  5、5,8;              6、(k,k)或(3m+2,2)(mN+).

三、

四、7.

五、证略.

第二试

一、证略;

二、证略.

三、 有.