全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:58:05 下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(一)

(命题人:吴伟朝)

第一试

一、     选择题:(每小题6分,共36分)

1、 方程6×(5a2b2)=5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是

(A)1      (B)3     (C)4     (D)5

2、 函数xRx≠1)的递增区间是

(A)x≥2            (B)x≤0或x≥2

(C)x≤0            (D)xx

3、 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于AB,使△AOBO为原点)的面积最小,则l的方程为

(A)xy-3=0         (B)x+3y-5=0

(C)2xy-5=0         (D)x+2y-4=0

4、 若方程cos2xsin2xa+1在上有两个不同的实数解x,则参数a的取值范围是

(A)0≤a<1           (B)-3≤a<1

(C)a<1            (D)0<a<1

5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

(A)42     (B)45   (C)48   (D)51

6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a,a3,a4,a5中,满足条件a1a2a2a3a3a4a4a5的排列的个数是

(A)8      (B)10     (C)14     (D)16

二、     填空题:(每小题9分,共54分)

1、[x]表示不大于x的最大整数,则方程×[x2x]=19x+99的实数解x     

2、设a1=1,an+1=2ann2,则通项公式an        

3、数799被2550除所得的余数是         

4、在△ABC中,∠A,sinB,则cosC       

5、设k是实数,使得关于x的方程x2-(2k+1)xk2-1=0的两个根为sin和cos,则的取值范围是         

6、数nN)的个位数字是        

三、     (20分)

已知xyz都是非负实数,且xyz=1.

求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确定等号成立的条件.

四、     (20分)

(1)    求出所有的实数a,使得关于x的方程x2+(a+2002)xa=0的两根皆为整数.

(2)    试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0有三个整数根.

五、     (20分)

试求正数r的最大值,使得点集T={(x,y)xyR,且x2+(y-7)2r2}一定被包含于另一个点集S={(x,y)xyR,且对任何R,都有cos2xcosy≥0}之中.

第二试

一、(50分)

    设abcRbaca≠-cz是复数,且z2-(ac)zb=0.

    求证:的充分必要条件是(ac)2+4b≤0.

二、(50分)

     如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是锐角,DBC边上的内点,且AD平分∠BAC,过点D分别向两条直线ABAC作垂线DPDQ,其垂足是PQ,两条直线CPBQ相交与点K.求证:

(1)    AKBC

(2)    ,其中表示△ABC的面积.

  

三、(50分)

       给定一个正整数n,设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程:

    确定和式的值(写成关于n的最简式子).


参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

D

A

B

D

二、填空题:

  1、;         2、7×2n-1­­n2-2n-3;

  3、343;               4、

  5、{=2n或2nnZ}  ;6、1(n为偶数);7(n为奇数).

三、证略,等号成立的条件是

四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;(2)a的可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax

第二试

一、证略(提示:直接解出,通过变形即得充分性成立,然后利用反证法证明必要性).

二、证略(提示:用同一法,作出BC边上的高AR,利用塞瓦定理证明ARBQCP三线共点,从而AKBC;记ARPQ交于点T,则ARATAQAP,对于AKAP,可证∠APK<∠AKP).

三、