全国高中数学联赛模拟试题(一)

（命题人：吴伟朝）

第一试

一、　　　　 选择题：（每小题6分，共36分）

1、　方程6×(5a²＋b²)＝5c²满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是

（A）1　　　　　 （B）3　　　　　（C）4　　　　　（D）5

2、　函数（x∈R，x≠1）的递增区间是

（A）x≥2　　　　　　　　　　　　（B）x≤0或x≥2

（C）x≤0　　　　　　　　　　　　（D）x≤或x≥

3、　过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为

（A）x＋y－3＝0　　　　　　　　　（B）x＋3y－5＝0

（C）2x＋y－5＝0　　　　　　　　 （D）x＋2y－4＝0

4、　若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是

（A）0≤a＜1　　　　　　　　　　 （B）－3≤a＜1

（C）a＜1　　　　　　　　　　　　（D）0＜a＜1

5、　数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

（A）42　　　　　（B）45　　 （C）48　　 （D）51

6、　在1,2,3,4,5的排列a₁,a_2­,a₃,a₄,a₅中，满足条件a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的排列的个数是

（A）8　　　　　 （B）10　　　　 （C）14　　　　 （D）16

二、　　　　 填空题：（每小题9分，共54分）

1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程×[x²＋x]＝19x＋99的实数解x是　　　　　 ．

2、设a₁＝1，a_n+1＝2a_n＋n²，则通项公式a_n＝　　　　　　　  ．

3、数7⁹⁹被2550除所得的余数是　　　　　　　　  ．

4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝　　　　　　  ．

5、设k、是实数，使得关于x的方程x²－(2k＋1)x＋k²－1＝0的两个根为sin和cos，则的取值范围是　　　　　　　　  ．

6、数（n∈N）的个位数字是　　　　　　　  ．

三、　　　　 （20分）

已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．

求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．

四、　　　　 （20分）

（1）　　　 求出所有的实数a，使得关于x的方程x²＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数．

（2）　　　 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x³＋(－a²＋2a＋2)x－2a²－2a＝0有三个整数根．

五、　　　　 （20分）

试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)x、y∈R，且x²＋(y－7)²≤r²}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．

第二试

一、（50分）

　　　　设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z²－(a－c)z－b＝0．

　　　　求证：的充分必要条件是(a－c)²＋4b≤0．

二、（50分）

　　　　　如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：

（1）　　　 AK⊥BC；

（2）　　　 ，其中表示△ABC的面积．

　　

三、（50分）

　　　　　　 给定一个正整数n，设n个实数a₁,a₂,…,a_n满足下列n个方程：

．

　　　　确定和式的值（写成关于n的最简式子）．

参考答案

第一试

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6
答案	C	C	D	A	B	D

二、填空题：

　 1、或；　　　　　　　　　2、7×2^n-1­­－n²－2n－3；

　 3、343；　　　　　　　　　　　　　　 4、；

　 5、{＝2n＋或2n－，n∈Z}　　；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）．

三、证略，等号成立的条件是或或或．

四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．

五、r_max＝．

第二试

一、证略（提示：直接解出，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．

二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则＝AR＞AT＞AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．

三、．